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Abbesche Invariante

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Abbesche Invariante (nach Ernst Abbe; auch Invariante der Brechung, Nullvariante)<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Lexikon der Physik, Abbesche Invariante|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Lexikon der Physik, Abbesche Invariante}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.spektrum.de/lexikon/physik/abbesche-invariante/10%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Lexikon der Physik, Abbesche Invariante}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/abbesche-invariante/10}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Lexikon der Physik, Abbesche Invariante}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Spektrum.de{{#if: 06.04.2014 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math>n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{s} \right) = n' \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{s'} \right)</math>

mit

  • n, n' = Brechungsindex vor bzw. nach der brechenden Fläche (jeweils ' für die Bildseite)
  • r = Krümmungsradius der brechenden Fläche
  • s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, Kehrwert des Krümmungsradius und Kehrwert der Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.<ref name="Hodam">Fritz Hodam: Technische Optik, VEB Verlag Technik, 2. Auflage, 1967, S. 42</ref> Bei der Abbildung durch mehrere brechende Flächen hintereinander gibt es für jeden Teilbereich, der eine brechende Fläche enthält, eine Abbesche Invariante.

Diese Invariante ist eine Grundlage für die Ableitung von Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet.<ref name="Hodam" />

Herleitung

Datei:BrechKugel.svg
Herleitung der Abbeschen Invariante

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

<math> \frac{\sin\epsilon}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s - r}{l}</math>   und
<math> \frac{\sin\epsilon'}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s' - r}{l'}</math>  .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

<math> \frac{\sin\epsilon}{\sin\epsilon'} = \frac{l'(s-r)}{l(s'-r)}</math>  .

Mit dem Brechungsgesetz   n sinε = n' sinε' :

<math> n\left(\frac{s-r}{l}\right) = n'\left(\frac{s'-r}{l'}\right)</math>  .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

<math> n\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s}\right) = n'\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s'}\right)</math>  .

Siehe auch

Einzelnachweise

<references />

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