Zum Inhalt springen

Lerchsche Zeta-Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Dies ist die aktuelle Version dieser Seite, zuletzt bearbeitet am 25. November 2023 um 09:51 Uhr durch 217.61.144.172 (Diskussion) (→Definition: Das musste ich machen. Die namentliche Unterscheidung der beiden Lerschschen Funktionen muss in der Definition klar genannt sein. Ich habe keine Formel verändert oder gar gelöscht. Sondern ich habe ganz einfach erst einmal die Sätze aufgebessert. In absehbarer Zeit werde ich in diesen Artikel auch noch die korrespondierenden Abel-Plana-Formeln einfügen.).
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:

<math>L(\lambda, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { \exp(2\,\pi\,i\,\lambda\,n)} {(n+\alpha)^s}</math>

Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:

<math>\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {(n+\alpha)^s}</math>

Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.

Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:

<math>\,\Phi(\exp (2\,\pi\,\,i\,\lambda), s, \alpha)=L(\lambda, s, \alpha)</math>

Spezialfälle und spezielle Werte

<math>\,\zeta(s,n)=L(0,s,n)=\Phi(1,s,n)</math>
<math>\,\textrm{Li}_s(z)=z\,\Phi(z,s,1)</math>
<math>\,\chi_n(z)=2^{-n}\,z\,\Phi(z^2,n,\tfrac 12)</math>
<math>\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)</math>
<math>\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)</math>
<math>\beta(s)=2^{-s}\,\Phi(-1,s,\tfrac12)</math>

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):<ref>http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html</ref>

<math>\Phi(z,s,1)=\frac{\mathrm{Li}_s(z)}z</math>
<math>\Phi(z,0,a)=\frac1{1-z}</math>
<math>\Phi(0,s,a)=\left(a^2\right)^{-\frac s2}</math>
<math>\Phi(0,s,a)=a^{-s}\,</math>
<math>\Phi(z,1,1)=-\frac{\log(1-z)}z</math>
<math>\Phi(1,s,\tfrac12)=(2^s-1)\zeta(s)</math>
<math>\Phi(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\,</math>
<math>\Phi(0,1,a)=\frac1{\sqrt{a^2}}</math>

Ferner ist

<math>\begin{align}

&\Phi(-1,2,\tfrac12)&=&\; 4\,G \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,1) &=&\; \log\left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{\mathrm e}}\right) \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-2,1) &=&\; \frac{7\,\zeta(3)}{4\,\pi^2} \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,\tfrac12) &=&\; \frac{G}\pi \end{align}</math>

mit der catalanschen Konstanten <math>G</math>, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten <math>A</math> und der Apéry-Konstanten <math>\zeta(3)</math> der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

<math>\Phi(z,s,a)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}\mathrm{e}^{-at}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt \qquad\quad</math> für <math>\begin{cases} & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>0 \text{ und } z<1 \\ \text{oder } & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>1\text{ und }z=1\end{cases}</math>

Das Kurvenintegral

<math>\Phi(z,s,a)=-\frac{\Gamma(1-s)}{2\,\pi\, i}\int\limits_0^\infty \frac{(-t)^{s-1}\mathrm{e}^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt</math>

mit <math>\mathrm{Re}\;a>0,\;\mathrm{Re}\;s<0,\;z<1</math> darf die Punkte <math>t=\log z+2\,k\,\pi\,i,\;k\in\Z</math> nicht enthalten.

Ferner ist

<math>\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2\,a^s}+\int\limits_0^\infty\frac{z^t}{(a+t)^s}\,\mathrm dt+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt</math>

für <math>\mathrm{Re}\;a>0</math> und <math>|z|<1</math>.

Ebenso ist

<math>\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac{\log^{s-1}\dfrac1z}{z^a}\,\Gamma(1-s,a\log\dfrac1z)+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt</math>

für <math>\mathrm{Re}\,a>0</math>.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

<math>\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{-s}.</math>

Sie gilt für alle <math>s</math> und komplexe <math>z</math> mit <math>\mathrm{Re}\,z<\tfrac12</math>; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls <math>s</math> positiv und ganz ist, gilt

<math>\Phi(z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum_{{k=0}\atop k\neq n-1}^\infty\zeta(n-k,a)\frac{\log^k z}{k!}+\left[\Psi(n)-\Psi(a)-\log(-\log z)\right]\frac{\log^{n-1} z}{(n-1)!}\right\}.</math>

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

<math>\Phi(z,s,a+x)=\sum_{k=0}^\infty\Phi(z,s+k,a)(s,k)\frac{(-x)^k}{k!}</math>

für <math>|x|<\mathrm{Re}\,a</math> unter Verwendung des Pochhammer-Symbol <math>(s,k)</math> gegeben.

Im Grenzwert <math>a\rightarrow-n</math> gilt

<math>\Phi(z,s,a)=\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k)^s}+z^n\sum_{m=0}^\infty(1-m-s,m)\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{(a+n)^m}{m!}</math>.

Der Spezialfall <math>n=0</math> hat folgende Reihe:

<math>\Phi(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum_{m=0}^\infty(1-m-s,m)\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!}</math>

für <math>|a|<1</math>.

Die asymptotische Entwicklung für <math>s\rightarrow-\infty</math> ist gegeben durch

<math>\Phi(z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[2\,k\,\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{2\,k\,\pi\,a\,i}</math>

für <math>|a|<1,\;\mathrm{Re}\;s<0,\; z\notin (-\infty,0)</math> und

<math>\Phi(-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[(2\,k+1)\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{(2\,k+1)\pi\,a\,i}</math>

wenn <math>|a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0,\; z\notin (0,\infty)</math>.

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

<math>\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac1{z^a}\sum_{k=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2\,\pi\,i\,(k-1)a}\,\Gamma(1-s,a\,(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}+\frac{\mathrm{e}^{2\,\pi\,i\,k\,a}\,\Gamma(1-s,a\,(2\,\pi\,i\,k-\log z))}{(2\,\pi\,i\,k-\log z)^{1-s}}</math>

mit <math>|a|<1</math> und <math>\mathrm{Re}\,s<0</math>.

Identitäten und weitere Formeln

<math>\Phi(z,s,a)=z^n\,\Phi(z,s,a+n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac {z^k}{(k+a)^s}</math>
<math>\Phi(z,s-1,a)=\left(a+z\frac{\partial}{\partial z}\right) \Phi(z,s,a)</math>
<math>\Phi(z,s+1,a)=-\,\frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial a} \Phi(z,s,a)</math>

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit <math>\{z\in\Complex\,\setminus [1,\infty) \text{ und } \mathrm{Re}\;s>-2 \}</math> oder <math>\{ z=1\text{ und Re}\;s>-1\}</math><ref>Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)</ref>

<math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s+1)\,\frac{\Phi(z,s+1,v)-\Phi(z,s+1,u)}{u-v}</math>

und

<math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s)\,\Phi(z,s+2,u)</math>.

Literatur

  • Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: <math>\textstyle \frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}</math>, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
  • M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series <math>{}_2\psi_2</math>, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
  • Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
  • Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Weblinks

Einzelnachweise

<references/>

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Lerchsche_Zeta-Funktion&oldid=1667114“