Zeta-Funktion
Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder <math>\zeta</math>-Funktion in der Mathematik die holomorphe<ref>Brockhaus Enzyklopädie in 24 Bänden, 19. Aufl., Bd. 18, S. 407, Mannheim 1992.</ref> komplexe Funktion
- <math>\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^z}\quad </math>, mit <math>z\in \mathbb{C},\, \Re(z)>1</math>
gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.
Einige Werte sind<ref>CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, ed. Eric W. Weinstein. Chapman&Hall: Boca Raton [u. a.]. 2nd ed. 2003, S. 2564.</ref>
- <math>\zeta(1) = \infty</math>
- <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}6</math>
- <math>\zeta(3) = 1{,}2020569032...</math>
- <math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}</math>
- <math>\zeta(5) = 1{,}0369277551...</math>
- <math>\zeta(6) = \frac {\pi^6}{945}</math>
- <math>\zeta(7) = 1{,}0083492774...</math>
- <math>\zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}</math>
- <math>\zeta(9) = 1{,}0020083928...</math>
Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.
Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:
- Airysche Zeta-Funktion
- Artin-Mazursche Zeta-Funktion
- Dedekindsche Zeta-Funktion
- Epsteinsche Zeta-Funktion
- Hasse-Weil-Zetafunktion
- Hurwitzsche Zeta-Funktion
- Igusa-Zetafuntkion
- Ihara-Zetafunktion
- Jacobische Zetafunktion
- Lefschetzsche Zeta-Funktion
- Lerchsche Zeta-Funktion
- Ninitsche Zeta-Funktion
- Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion
- Selbergsche Zeta-Funktion
- Weierstraßsche Zeta-Funktion
- Primzetafunktion
Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion <math>\eta</math> und die dirichletsche Beta-Funktion <math>\beta</math>.
Literatur
- Pierre Cartier: An introduction to Zeta Functions, in M. Waldschmidt u. a. (Hrsg.), From Number Theory to Physics, Springer 1992, S. 1–63
- Anton Deitmar: A panorama of Zeta functions, in E. Kähler, Mathematical Works, De Gruyter 2003, Arxiv
- Mircea Mustaţă: Zeta functions in algebraic geometry, Vorlesung 2011 (PDF)
- Bernhard Schiekel: Zetafunktionen in der Physik – eine Einführung {{#invoke:Vorlage:Handle|f|scheme=doi|class=plainlinks|parProblem=Problem|errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:DOI|errClasses=error editoronly|errHide=1|errNS=0 4 10 100}}.
- Alan David Thomas: Zeta-Functions: an introduction to algebraic geometry, Pitman 1977
Weblinks
Einzelnachweise
<references />