Triakistetraeder

Vorlage:Infobox Polyeder Das Triakistetraeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 12 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum Tetraederstumpf und hat 8 Ecken sowie 18 Kanten.

Entstehung

Datei:Hexaeder Schnitt.png

Vierfach geschnittener Würfel

Datei:Triakis tetrahedron wireframe.stl

Drahtgittermodell eines Triakistetraeders

Werden auf alle 4 Begrenzungsflächen eines Tetraeders (mit Kantenlänge <math>a</math>) Pyramiden mit der Flankenlänge <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung <math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}</math> erfüllt ist.

Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
Das spezielle Triakistetraeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math>b = \tfrac{3}{5}a</math> ist.
Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakistetraeder zu einem Würfel mit der Kantenlänge <math>b</math> (siehe Grafik links); dieser vierfach geschnittene Würfel – mit einem gedachten Tetraeder im Kern – ist topologisch gleichwertig zum Triakistetraeder.
Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln

Allgemein

<math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}</math>

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	<math>V = \frac{a^2}{12} \left(a\sqrt{2}+4\sqrt{3b^2-a^2}\right) </math>
Oberflächeninhalt	<math>A_O = 3a \sqrt{4b^2-a^2} </math>
Pyramidenhöhe	<math>k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2} </math>
Inkugelradius	<math>\rho = \frac{a}{12} \sqrt{\frac{48b^2-14a^2+8a\sqrt{6b^2-2a^2}}{4b^2-a^2}} </math>
Flächenwinkel (über Kante a)	<math> \cos \, \alpha_1 = \frac{5a^2-12b^2-8a \sqrt{6b^2-2a^2}}{9(4b^2-a^2)} </math>
Flächenwinkel (über Kante b)	<math> \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2} </math>

Speziell

<math>b = \tfrac{3}{5}a</math>

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlänge a
Volumen	<math>V = \frac{3}{20}\,a^3 \sqrt{2} </math>
Oberflächeninhalt	<math>A_O = \frac{3}{5}\,a^2 \sqrt{11} </math>
Pyramidenhöhe	<math>k = \frac{a}{15} \sqrt{6} </math>
Inkugelradius	<math>\rho = \frac{3}{4}\,a\,\sqrt{\frac{2}{11}} </math>
Kantenkugelradius	<math>r = \frac{a}{4} \sqrt{2} </math>
Flächenwinkel ≈ 129° 31′ 16″	<math> \cos \, \alpha = -\frac{7}{11} </math>
Sphärizität ≈ 0,86439	<math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {60\,\pi}} {2 \sqrt{11}} </math>

Weblinks

Commons: Triakistetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Triakistetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Eric W. Weisstein: Triakistetraeder. In: MathWorld (englisch).
Mineralienatlas:Triakistetraeder Interaktive Darstellung des Triakistetraeders im Mineralienatlas

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