Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition

Es sei <math>n>2</math> eine natürliche Zahl. Dann ist der <math>n</math>-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung <math>\mathbb Q(\mu_n)</math> von <math>\mathbb Q</math>, die durch Adjunktion der Menge <math>\mu_n</math> aller <math>n</math>-ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften

• Ist <math>\zeta_n</math> eine primitive <math>n</math>-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von <math>\zeta_n</math> das <math>n</math>-te Kreisteilungspolynom <math>\Phi_n</math>, deshalb ist

<math>\mathbb Q(\mu_n) = \mathbb Q(\zeta_n)\cong\mathbb Q[T]/(\Phi_n(T)).</math>

Insbesondere ist der Erweiterungsgrad <math>[\mathbb Q(\mu_n):\mathbb Q]=\varphi(n)</math> mit der eulerschen φ-Funktion.<ref name="W2.5">Washington: Theorem 2.5 (S. 11 in der Google-Buchsuche).</ref>

• Zwei Kreisteilungskörper <math>\mathbb Q(\mu_n)</math> und <math>\mathbb Q\mathbb(\mu_m)</math> mit <math>n<m</math> sind genau dann gleich, wenn <math>n</math> ungerade ist und <math>m = 2n</math> gilt.

• Die Adjunktion der <math>m</math>-ten Einheitswurzeln zu <math>\mathbb Q(\mu_n)</math> ergibt <math>\mathbb Q(\mu_N)</math> mit <math>N=\mathrm{kgV}(m,n).</math>

• Die Erweiterung <math>\mathbb Q(\mu_n)|\mathbb Q</math> ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu <math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times;</math> ist <math>\zeta_n</math> eine primitive <math>n</math>-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element <math>k\in(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times</math> der durch

<math>\zeta_n\mapsto\zeta_n^k</math>

definierte Automorphismus von <math>\mathbb Q(\mu_n).</math><ref name="W2.5" />

• Der Ganzheitsring von <math>\mathbb Q(\mu_n)</math> ist <math>\mathbb Z[\zeta_n]</math> mit einer beliebigen primitiven <math>n</math>-ten Einheitswurzel <math>\zeta_n</math>.<ref>Neukirch: Satz I.10.2.</ref>

• Insbesondere ist der Ganzheitsring von <math>\mathbb Q(\mu_4)=\mathbb Q(\sqrt{-1})</math> gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von <math>\mathbb Q(\mu_3)=\mathbb Q(\mu_6)=\mathbb Q(\sqrt{-3})</math> ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Diskriminante und Verzweigung

Die Diskriminante von <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math> für <math>n>2</math> ist<ref name="W2.7">Washington: Proposition 2.7 (S. 12 in der Google-Buchsuche).</ref>

<math>\Delta_{\mathbb Q(\zeta_n)} = (-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}} \frac{n^{\varphi(n)}}{\prod_{p\mid n} p^{\frac{\varphi(n)}{p-1}}}.</math>

Die in <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math> verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math>, wenn sie ein Teiler von <math>n</math> ist. Die <math>2</math> ist genau dann verzweigt, wenn <math>4 \mid n</math>. Eine Primzahl <math>p</math> ist genau dann voll zerlegt, wenn <math>p\equiv 1\pmod n</math> gilt.<ref>Neukirch: Korollar I.10.4.</ref>

Ist <math>n=\ell^\nu>2</math> eine Primzahlpotenz, so ist <math>\ell</math> die einzige verzweigte Primzahl in <math>\mathbb Q(\zeta_{\ell^\nu})</math>. <math>\ell</math> ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass <math>1-\zeta_{\ell^\nu}</math> ein Element mit Norm <math>\ell</math> ist. Das einzige Primideal über <math>\ell</math> ist also das Hauptideal, das von <math>1-\zeta_{\ell^\nu}</math> erzeugt wird:

<math>(\ell)=(1-\zeta_{\ell^\nu})^{\ell^{\nu-1}(\ell-1)}.</math>

Für die Diskriminante ergibt sich <math>\Delta_{\mathbb Q(\zeta_{\ell^\nu})} = \pm \ell^{\ell^{\nu-1}(\nu\ell-\nu-1)}</math>.<ref>Neukirch: Lemma I.10.1.</ref>

Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von <math>\mathbb Q</math> entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Idealklassengruppe

Die Klassenzahl <math>h_n</math> von <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math> besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren <math>h_n^+</math> und <math>h_n^-</math>.<ref>Nach Washington, Theorem 4.10 (S. 39 in der Google-Buchsuche) ist <math>h_n^+</math> ein Teiler von <math>h_n</math>.</ref> Hierbei ist <math>h_n^+</math> die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers <math>\mathbb Q(\zeta_n)^+ = \mathbb Q(\zeta_n+\zeta_n^{-1})</math> und <math>h_n^- := h_n/h_n^+</math> die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe <math>C_n^+</math> von <math>\mathbb Q(\zeta_n)^+</math> kann als Untergruppe der Idealklassengruppe <math>C_n</math> von <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math> aufgefasst werden.<ref>Washington: Theorem 4.14.</ref>

Die Relativklassenzahl <math>h_n^-</math> kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.<ref>Washington: Theorem 4.17.</ref>

Die Klassenzahl <math>h_n</math> von <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math> zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass <math>h_n \to \infty</math> für <math>n \to \infty</math>. Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl <math>1</math>.<ref>Washington: Theorem 4.20 (S. 45 in der Google-Buchsuche).</ref> Die vollständige Liste aller <math>n</math> mit <math>h_n=1</math> lautet<ref>Washington: Theorem 11.1. – Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall <math>n \equiv 2 \mod 4</math> ergänzt.</ref>

<math>1, 2, 3, \dots, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.</math>

In genau diesen Fällen ist <math>\mathbb Z[\zeta_n]</math> ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung<ref>Borewicz, Šafarevič: S. 243 in der Google-Buchsuche.</ref> sagt voraus, dass die Primzahl <math>p</math> kein Teiler von <math>h^+_p</math> ist.

Literatur

• Serge Lang: Cyclotomic Fields I and II (= Graduate Texts in Mathematics. 121). Combined 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1990, ISBN 3-540-96671-4.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. 83). Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-90622-3 (2nd edition. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0).
• Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. 32). Springer, Basel 1966, ISBN 978-3-0348-6945-4.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cyclotomic Field. In: MathWorld (englisch).
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Einzelnachweise

<references />