Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)

In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition

Sei <math>B</math> ein Ring, <math>A \subseteq B</math> ein Unterring derart, dass <math>B</math> ein freier <math>A</math>-Modul vom Rang <math>n \; (n \in \mathbb{N})</math> ist. Für <math>(x_1, x_2, \dots, x_n) \in B^n</math> heißt <math>D(x_1, x_2, \dots, x_n) := \det \left( \mathrm{Tr}_{B/A}(x_i \cdot x_j)_{i,j} \right) \in A</math> die Diskriminante von <math>(x_1, x_2, \dots, x_n)</math>.

Wenn <math>(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> eine <math>A</math>-Basis von <math>B</math> darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in <math>A</math> eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von <math>D(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> in <math>A</math> erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit <math>\mathfrak{D}_{B/A}</math> bezeichnet und heißt Diskriminante von <math>B</math> über <math>A</math>.

Eigenschaften und Anwendung

Sei <math>L/K</math> eine separable Körpererweiterung vom Grad <math>n \; (n \in \mathbb{N})</math> und <math>\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n</math> die <math>n</math> verschiedenen <math>K</math>-Algebrenmonomorphismen von <math>L</math> in den algebraischen Abschluss von <math>K</math>. Dann gilt für eine <math>K</math>-Basis <math>(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> von <math>L</math><ref>Neukirch: Satz. I.2.8</ref>:

<math>D(x_1, x_2, \dots, x_n) = \det\left( (\sigma_i(x_j))_{i,j} \right)^2 \neq 0</math>

Seien <math>K \subseteq L</math> zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen <math>A \subseteq B</math>. Dann gilt für ein Primideal <math>\mathfrak{p} \subseteq A</math> das folgende: <math>\mathfrak{p} \subseteq B</math> ist genau dann verzweigt, wenn <math>\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{D}_{B/A}</math> gilt<ref>Neukirch: Thm. III.2.6</ref>. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von <math>\mathfrak{D}_{B/A}</math>, vgl. Dedekindring).

Beispiel

Seien <math> A := \mathbb{Q}, \; B := \mathbb{Q}[X]/(X^2 + bX + c), \quad b,c \in \mathbb{Q}</math>; <math>x</math> bezeichne die Äquivalenzklasse von <math>X</math> in <math>B</math>.

Somit <math>D_{B/A}(1, x) = \det \begin{pmatrix} \mathrm{Tr}_{B/A}(1) & \mathrm{Tr}_{B/A}(x) \\ \mathrm{Tr}_{B/A}(x) & \mathrm{Tr}_{B/A}(x^2) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2 & -b \\ -b & b^2-2c \end{pmatrix} = b^2 - 4c </math>, was der Diskriminante des Polynoms <math>X^2 + bX + c</math> entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

<math> \mathrm{Tr}_{B/A}(1) = \mathrm{Tr}_{B/A} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 </math>

<math> \mathrm{Tr}_{B/A}(x) = \mathrm{Tr}_{B/A} \begin{pmatrix} 0 & -c \\ 1 & -b \end{pmatrix} = -b </math>

<math> \mathrm{Tr}_{B/A}(x^2) = \mathrm{Tr}_{B/A}(-b \cdot x - c) = -b \cdot \mathrm{Tr}_{B/A}(x) - c \cdot \mathrm{Tr}_{B/A}(1) = b^2-2c </math>

Diskriminante eines Zahlkörpers

Sei <math>K</math> ein Zahlkörper und <math>\mathcal{O}_K</math> sein Ganzheitsring. Sei <math>b_1, \dots, b_n</math> eine Basis von <math>\mathcal{O}_K</math> als <math>\mathbb{Z}</math>-Modul, und seien <math>\{\sigma_1, \dots, \sigma_n \}</math> die Einbettungen von <math>K</math> in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von <math>K</math> ist das Quadrat der Determinante der <math>n\times n</math>--Matrix <math>B</math>, deren <math>(i,j)</math>-Eintrag <math>\sigma_i(b_j)</math> ist:<ref>Neukirch: §I.2, nach Kor. I.2.7 und Bem. nach Satz I.2.11</ref>

<math>\Delta_K=\left(\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}

\sigma_1(b_1) & \sigma_1(b_2) &\cdots & \sigma_1(b_n) \\ \sigma_2(b_1) & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \sigma_n(b_1) & \cdots & \cdots & \sigma_n(b_n) \end{array}\right)\right)^2. </math>

Siehe auch

Diskriminante

Literatur

Falko Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.

Einzelnachweise