Vollständiger Hausdorff-Raum

Vollständige Hausdorff-Räume sind in der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik solche topologische Räume, deren Punkte sich anhand ihrer Werte unter reellwertigen stetigen Funktionen unterscheiden lassen.

Definition

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte <math>x</math> und <math>y</math> durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion <math>f\colon X\rightarrow[0,1]</math> existiert, so dass <math>f(x)=0</math> und <math>f(y)=1</math> gilt.

<math>X</math> ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte <math>x</math> und <math>y</math> immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass <math>X</math> vollständig <math>T_2</math> sei. Anders ausgedrückt: Die Menge aller stetigen <math>[0,1]</math>-wertigen Funktionen ist punktetrennend.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome <math>T_0</math>, <math>T_1</math> und <math>T_2</math>.

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

Die euklidische Topologie auf <math>\mathbb{R}^{n}</math> definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf <math>\mathbb{R}</math> die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form <math>U\setminus A</math> mit einer in der Betragstopologie offenen Menge <math>U</math> und einer abzählbaren Menge <math>A</math> erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.

Beziehung zur Stone-Čech-Kompaktifizierung

Die kanonische Abbildung eines topologischen Raumes <math>X</math> in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung ist genau dann injektiv, wenn <math>X</math> vollständig hausdorffsch ist.<ref>Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie générale. Ch. 1 à 4. Reimpression inchangée de l'edition originale de 1971. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33936-6, Kapitel 9, S. 10.</ref>

Einzelnachweise

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