Urysohn-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind Urysohn-Räume (benannt nach Pavel Urysohn) spezielle topologische Räume, die gewisse Eigenschaften erfüllen.

Definition

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte <math>x</math> und <math>y</math> durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen von <math>x</math> und <math>y</math> existieren.<ref>Stephen Willard: General Topology. Adison-Wesley-Publ., 1998, ISBN 0-486-43479-6, Aufgabe 14F.</ref><ref>Steven A. Gall: Point Set Topology. Dover Publ., 2009, ISBN 978-0-486-47222-5, Kap II.2, S. 83.</ref><ref>Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Kap. I.5, S. 102.</ref><ref>J. R. Porter, R. G. Woods: Extensions and Absoluteness of Hausdorff Spaces. Springer-Verlag, 1988, ISBN 1-4612-8316-7, Kapitel 4.8, S. 305.</ref>

<math>X</math> ist ein Urysohn-Raum, falls je zwei verschiedene Punkte durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind. Man sagt auch, dass <math>X</math> das Trennungsaxiom T_2½ erfüllt.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder Urysohn-Raum ist ein Hausdorff-Raum und erfüllt somit die Trennungsaxiome <math>T_0, T_1</math> und <math>T_2</math>.

Andererseits ist jeder reguläre Hausdorff-Raum wie auch jeder vollständige Hausdorff-Raum ein Urysohn-Raum.

Beispiel

Im Folgenden konstruieren wir einen topologischen Raum, der ein Urysohn-Raum, aber kein regulärer Raum und auch kein vollständiger Hausdorff-Raum ist. Sei dazu <math>S</math> die Menge der rationalen Punkte im Einheitsquadrat in <math>\mathbb{Q}^2</math>, ohne die Paare, mit der ersten Koordinate <math>\tfrac{1}{2}</math>. Weiter sei <math>X</math> die Menge <math>S</math> vereinigt mit den Punkten <math>(0,0)</math> und <math>(1,0) </math> und allen Punkten <math>(1/2,r\sqrt{2})</math>, wobei <math>r</math> über alle rationalen Zahlen <math>0<r<1/\sqrt{2}</math> läuft. Die offenen Mengen sind durch folgende Umgebungsbasen gegeben:

• für die Punkte aus <math>S</math> die von der euklidischen Topologie induzierten,
• für <math>(0,0)</math> die Punkte der Form <math>(x,y)</math>, wobei <math>0<x<1/4</math> und <math>0<y<1/n</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> zusammen mit <math>(0,0)</math>,
• für <math>(1,0)</math> die Punkte der Form <math>(x,y)</math>, wobei <math>3/4<x<1</math> und <math>0<y<1/n</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math>, zusammen mit <math>(1,0)</math>,
• für <math>(1/2,r\sqrt{2})</math> die Punkte der Form <math>(x,y)</math>, wobei <math>1/4<x<3/4</math> und <math>|y-r\sqrt{2}|<1/n</math>.

Bemerkung zur Bezeichnung

In einem vollständigen Hausdorff-Raum gibt es definitionsgemäß zu je zwei verschiedenen Punkten eine Urysohn-Funktion, so dass es durchaus naheliegend wäre, die Definitionen für Urysohn-Raum und vollständiger Hausdorff-Raum auszutauschen. Genau das ist im unten angegebenen Buch Counterexamples in Topology geschehen.<ref>Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, S. 13 und S. 16.</ref> Man sollte daher die von einem Autor verwendeten Definitionen prüfen.

Einzelnachweise

<references />