Verzweigung (Algebra)

Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie und komplexe Analysis miteinander verbindet.

Namengebendes Beispiel

Es sei <math>n>1</math> eine natürliche Zahl und <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math> die Funktion <math>z\mapsto w=z^n</math>. Ist nun <math>w\ne 0</math> und <math>U</math> eine (hinreichend kleine) Umgebung von <math>w</math>, so besteht das Urbild von <math>U</math> aus <math>n</math> Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um <math>2\pi/n</math>, also Multiplikation mit einer <math>n</math>-ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich <math>w\to0</math>, so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für <math>w_0=0</math> zu einem einzigen Urbild <math>\{0\}</math> zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die <math>n</math> Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)

Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun <math>g(w)</math> eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat <math>g</math> bei 0 eine <math>k</math>-fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion

<math>f^*(g)=g\circ f,\quad z\mapsto g(z^n)</math>

eine <math>nk</math>-fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus

<math>f^*\colon\mathbb C\{w\}\to\mathbb C\{z\},\quad w\mapsto z^n.</math>

(Dabei bezeichnet <math>\mathbb C\{w\}</math> den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt

<math>\operatorname{ord}_{z=0}f^*(g)=n\cdot\operatorname{ord}_{w=0}g.</math>

Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Verzweigungspunkte.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Es sei <math>K</math> ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung <math>v\colon K^\times\to\mathbb R</math>. Weiter seien

<math>\mathcal O_K=\{x\in K\mid v(x)\geq0\}</math> bzw. <math>\mathfrak m_K=\{x\in K\mid v(x)>0\}</math>

der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von <math>K</math>, <math>\pi_K</math> eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von <math>\mathfrak m_K</math>, und <math>\kappa=\mathcal O_K/\mathfrak m_K</math> der Restklassenkörper. Weiter sei <math>L</math> eine endliche Erweiterung von <math>K</math> mit diskreter Bewertung <math>w\colon L^\times\to\mathbb R</math>, die <math>v</math> fortsetzt, d. h. <math>w|_K=v</math>. Schließlich seien <math>\mathcal O_L,\mathfrak m_L,\pi_L,\lambda</math> analog zu oben.

Der Verzweigungsindex von <math>L/K</math> ist definiert als

<math>e_{w/v}=\frac{v(\pi_K)}{w(\pi_L)}=(w(L^\times) : v(K^\times))</math>

Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad <math>f_{w/v}=[\lambda:\kappa]</math>.

Eigenschaften

Ist die Erweiterung <math>L/K</math> separabel, und durchläuft <math>w</math> alle möglichen Fortsetzungen von <math>v</math>, so gilt die fundamentale Gleichung<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173</ref>

Ist <math>K</math> darüber hinaus vollständig, so ist <math>w</math> eindeutig bestimmt<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150</ref> als

und es gilt<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157</ref>

Es seien nun <math>K</math> vollständig und <math>L/K</math> galoissch, und außerdem sei <math>\lambda/\kappa</math> separabel. (Diese Voraussetzungen sind beispielsweise für lokale Körper erfüllt.) Dann ist <math>\lambda/\kappa</math> sogar galoissch, und es gibt eine kurze exakte Sequenz<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181</ref>

<math>1\to I\to\mathrm{Gal}(L/K)\to\mathrm{Gal}(\lambda/\kappa)\to1;</math>

dabei bezeichnet man den Kern <math>I</math> als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper <math>T</math> ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182</ref> von <math>L/K</math>, und im Fall endlicher Erweiterungen gilt

Insbesondere gilt: Ist <math>L/K</math> unverzweigt, so ist

<math>\mathrm{Gal}(L/K)\cong\mathrm{Gal}(\lambda/\kappa).</math>

Ist <math>K^\mathrm{nr}</math> die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss <math>K^\mathrm{sep}</math> von <math>K</math>), so gilt entsprechend

<math>\mathrm{Gal}(K^\mathrm{nr}/K)\cong\mathrm{Gal}(\kappa^\mathrm{sep}/\kappa).</math>

Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu <math>\hat{\mathbb Z}</math>, hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe <math>\mathrm{Gal}(\kappa^\mathrm{sep}/\kappa)</math> im Frobenius-Automorphismus

<math>x\mapsto x^q</math> mit <math>q=\#\kappa</math>

einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in <math>\mathrm{Gal}(K^\mathrm{nr}/K)</math> ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Es sei <math>A</math> ein Dedekindring mit Quotientenkörper <math>K</math>, <math>L</math> eine endliche separable Erweiterung von <math>K</math> und <math>B</math> der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>L</math>; <math>B</math> ist wieder ein Dedekindring.<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47</ref>

Einer der wichtigsten Spezialfälle ist <math>A=\mathbb Z</math>, <math>K=\mathbb Q</math>, <math>L</math> ein Zahlkörper und <math>B</math> sein Ganzheitsring.

Weiter sei <math>\mathfrak p</math> ein maximales Ideal von <math>A</math>. Dann lässt sich <math>\mathfrak pB</math> auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primideale von <math>B</math> schreiben:

<math>\mathfrak pB=\mathfrak P_1^{e_1}\cdots\mathfrak P_k^{e_k}.</math>

Die Zahlen <math>e_i</math> heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen <math>f_i=[B/\mathfrak P_i:A/\mathfrak p]</math> Trägheitsgrade.

Ist <math>e_i=1</math> und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt <math>\mathfrak P_i</math> unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörpererweiterung stets separabel.)
Ist <math>f_i=1</math>, so heißt <math>\mathfrak P_i</math> rein verzweigt.
Sind alle <math>\mathfrak P_i</math> unverzweigt, so heißt <math>\mathfrak p</math> unverzweigt. <math>\mathfrak p</math> zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
Sind alle Primideale (ungleich null) von <math>K</math> unverzweigt, so heißt die Erweiterung <math>L/K</math> unverzweigt.

Eigenschaften

Ein Primideal <math>\mathfrak P</math> von <math>L</math> über einem Primideal <math>\mathfrak p</math> von <math>K</math> ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung <math>L/K</math> mit den durch <math>\mathfrak P</math> bzw. <math>\mathfrak p</math> definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
Es gilt die fundamentale Gleichung<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48</ref>

Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in <math>K</math>.<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52</ref> Ein Primideal in <math>K</math> ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt;<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213</ref> ein Primideal in <math>L</math> ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210</ref>
Die einzige unverzweigte Erweiterung von <math>\mathbb Q</math> ist <math>\mathbb Q</math> selbst.<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218</ref>
Ist <math>L/K</math> eine Galoiserweiterung globaler Körper und <math>\mathfrak p</math> unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal <math>\mathfrak P</math> über <math>\mathfrak p</math> einen Frobenius-Automorphismus <math>\varphi_{\mathfrak P}\in\mathrm{Gal}(L/K)</math>, der die Zerlegungsgruppe von <math>\mathfrak P</math> erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.<ref>Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.</ref>

Beispiel

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen. Betrachtet man sie, wie üblich, als Erweiterung der ganzen Zahlen, dann ist hier genau das von der Primzahl 3 (im Ring der ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

Unverzweigte Schemamorphismen

Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> Schemata und <math>f\colon X\to Y</math> ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt <math>f</math> unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:<ref>EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1</ref>

<math>\Omega^1_{X/Y}=0</math>
Für einen (und damit für jeden) Morphismus <math>g\colon Y\to Z</math> ist

<math>f^*\colon\Omega^1_{Y/Z}\to\Omega^1_{X/Z}</math>

surjektiv.

Die Fasern von <math>f</math> über Punkten <math>y\in Y</math> sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von <math>\kappa(y)</math>.
Die Diagonale <math>X\to X\times_YX</math> ist eine offene Einbettung.
Ist <math>T</math> ein affines Schema und <math>T_0</math> ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung

<math>\mathrm{Hom}_Y(T,X)\to\mathrm{Hom}_Y(T_0,X)</math>

injektiv.

Der Morphismus <math>f</math> heißt unverzweigt im Punkt <math>x\in X</math>, wenn es eine offene Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> in <math>X</math> gibt, so dass <math>f|_U</math> unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt <math>x</math> kann auch anders charakterisiert werden (es sei <math>y=f(x)</math>):<ref>EGA IV, 17.4.1</ref>

<math>\Omega^1_{X/Y,x}=0</math>
Die Diagonale <math>X\to X\times_YX</math> ist ein lokaler Isomorphismus bei <math>x</math>.
<math>\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_y\mathcal O_{X,x}</math> ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von <math>\kappa(y)</math> ist.

Die Unverzweigtheit von <math>f</math> im Punkt <math>x</math> hängt nur von der Faser <math>f^{-1}(y)</math> ab.

Eigenschaften

Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.<ref>EGA IV, 17.4.3</ref>
Ist <math>Y</math> zusammenhängend und <math>f\colon X\to Y</math> unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von <math>f</math> eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von <math>X</math>, die durch <math>f</math> isomorph auf <math>Y</math> abgebildet werden.<ref>EGA IV, 17.4.9</ref>

Bedeutung

Algebraische Geometrie

Ist <math>X</math> ein Schema über einem diskret bewerteten Körper <math>K</math> mit Bewertungsring <math>V</math>, so werden häufig Modelle von <math>X</math> über <math>V</math> betrachtet, d. h. Schemata <math>\mathcal X</math> über <math>V</math> mit <math>X\cong\mathcal X\otimes_VK</math>. Ist nun <math>L/K</math> eine unverzweigte Erweiterung und <math>W</math> der Bewertungsring von <math>L</math>, so ist der Morphismus <math>\mathrm{Spec}\,W\to\mathrm{Spec}\,V</math> und damit auch der Morphismus <math>\mathcal X_W:=\mathcal X\otimes_VW\to\mathcal X</math> étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von <math>\mathcal X</math> auf das Modell <math>\mathcal X_W</math> von <math>X_L</math>.

Literatur

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l’IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

Quellen