Variationsrechnung
Die Variationsrechnung ist ein mathematisches Teilgebiet der Analysis, in welchem kleine Änderungen in Funktionen und Funktionalen studiert werden, um Minima und Maxima von Funktionalen zu bestimmen.
Dieses (unendlichdimensionale) Optimierungsproblem mit Anwendungen in der theoretischen und der mathematischen Physik wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem Fachgebiet entwickelt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre,<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Weiterentwicklung<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und Forschung.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker Ennio De Giorgi und Charles Morrey. Ihre Forschungsarbeiten führten zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin Emmy Noether entwickelten Theoreme, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen,<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> spielen heutzutage eine bedeutende Rolle in der modernen Physik (Symmetrie). Der US-Mathematikerin Karen Uhlenbeck wurde 2019 der Abelpreis zugesprochen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2019%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2019}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2022-10-18 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellen Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können etwa Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, ein Minimum (Extremale)<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> oder einen Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme können elegant mit Hilfe von Funktionalen formuliert werden.
Das Schlüsseltheorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung, genauer „Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung“. Diese beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen (Variation) um die angenommene Lösung hergeleitet. Die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung ist lediglich eine notwendige Bedingung. Weitere notwendige Bedingungen für das Vorliegen einer Extremalen lieferten Adrien-Marie Legendre und Alfred Clebsch sowie Carl Gustav Jacob Jacobi. Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung stammt von Karl Weierstraß.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Weierstrass conditions (for a variational extremum) – Encyclopedia of Mathematics|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Weierstrass conditions (for a variational extremum) – Encyclopedia of Mathematics}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://encyclopediaofmath.org/wiki/Weierstrass_conditions_(for_a_variational_extremum)%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Weierstrass conditions (for a variational extremum) – Encyclopedia of Mathematics}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Weierstrass_conditions_(for_a_variational_extremum)}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Weierstrass conditions (for a variational extremum) – Encyclopedia of Mathematics}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2022-10-19 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Anwendungsgebiete
Historisch
Ein typisches Anwendungsbeispiel ist das Brachistochronenproblem: Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält.
Ingenieurwesen
Die Variationsrechnung findet Anwendung in der Steuerungs- und Regelungstheorie, wenn es um die Bestimmung von Optimalreglern geht. Die aus dem Verfahren von Ritz weiterentwickelte Finite-Elemente-Methode findet z. B. Anwendung in der Strukturmechanik.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Mathematik
Die Methoden der Variationsrechnung tauchen bei den Hilbertraum-Techniken, der Morsetheorie und bei der symplektischen Geometrie auf. Der Begriff Variation wird für alle „Extremal-Probleme“ von Funktionen verwendet. Geodäsie und Differentialgeometrie sind Bereiche der Mathematik, in denen Variationen eine Rolle spielen, bzw. mittels dieser weiterentwickelt wird.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Besonders am Problem der minimalen Oberflächen (vgl. auch Plateau-Problem), die etwa bei Seifenblasen auftreten, wurde viel gearbeitet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Variationsmethoden finden Anwendung bei den partiellen Differentialgleichungen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> In der Mathematik wurde die Variationsrechnung beispielsweise bei der riemannschen Behandlung des Dirichlet-Prinzips für harmonische Funktionen verwendet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Andere Weiterentwicklungen existieren, z. B. Γ-Konvergenz, stochastische Variationsmethoden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Physik
Die Variationsrechnung ist die mathematische Grundlage aller physikalischen Extremalprinzipien und deshalb besonders in der theoretischen Physik wichtig, so etwa im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik bzw. der Bahnbestimmung, in der Quantenmechanik<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> in Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung und in der statistischen Physik im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie.
Direkte Methoden der Variationsrechnung
Grundlegend ist der Euler-Lagrange Ansatz effektiv im Auffinden von Extremalen von Funktionalen. Jedoch ist es bereits bei mehreren Variablen, wo die Euler-Lagrange-Gleichung eine partielle Differentialgleichung darstellt, nicht möglich, eine explizite Lösung zu finden. Es existieren weitere Einschränkungen.<ref name="Calculus" /> Hingegen gehen die sog. Direkten Methoden der Variationsrechnung auf den generellen Fall ein, welcher der Frage nachgeht, unter welchen generellen Bedingungen können Funktionale minimiert werden?<ref name="Calculus" /> Die Ansätze bedienen sich dabei stark der Methoden der Funktionalanalysis.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Wichtige Theoreme und Beiträge zur Methode erfolgten durch Tonelli, Ascoli, Arzelà und Hilbert.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Zu den direkten Methoden der Variationsrechnung zählen z. B. das Approximationsverfahren nach Ritz sowie das Differenzenverfahren nach Euler.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die mathematische Theorie dazu hat Zusammenhänge mit der Theorie der Konvexen Analysis.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Euler-Lagrange-Gleichung
Zentrales Element bildet die Euler-Lagrange-Gleichung<ref name="Calculus">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>\delta I(x,\delta x) = 0</math>,
die für <math display="inline">I=\int \mathcal{L} \, \mathrm{d}t</math> gerade zur Lagrange-Gleichung aus der klassischen Mechanik wird. <math>\delta</math> ist dabei die Variation, <math>\mathcal{L}</math> die sog. Lagrangefunktion und <math>I</math> das Funktional. Mehr dazu siehe die Herleitung.
Ein Hilfsmittel aus der Analysis reeller Funktionen in einer reellen Veränderlichen
Im Folgenden wird eine wichtige Technik der Variationsrechnung demonstriert, bei der eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle einer reellen Funktion mit nur einer reellen Veränderlichen in eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle eines Funktionals übertragen wird. Diese Aussage kann dann oftmals zum Aufstellen beschreibender Gleichungen für stationäre Funktionen eines Funktionals benutzt werden.
Sei ein Funktional <math>I\colon X\to\R</math> auf einem Funktionenraum <math>X</math> gegeben (<math>X</math> muss mind. ein topologischer Raum sein). Das Funktional habe an der Stelle <math>x\in X</math> ein lokales Minimum.
Durch den folgenden einfachen Trick tritt an die Stelle des „schwierig handhabbaren“ Funktionals <math>I</math> eine reelle Funktion <math> F(\alpha)</math>, die nur von einem reellen Parameter <math>\alpha</math> abhängt „und entsprechend einfacher zu behandeln ist“.
Mit einem <math>\epsilon>0</math> sei <math>(x_\alpha)_{\alpha\in(-\epsilon,\epsilon)}</math> eine beliebige stetig durch den reellen Parameter <math>\alpha</math> parametrisierte Familie von Funktionen <math>x_{\alpha}\in X</math>. Dabei sei die Funktion <math>x_0</math> (d. h., <math>x_\alpha</math> für <math>\alpha=0</math>) gerade gleich der stationären Funktion <math>x</math>. Außerdem sei die durch die Gleichung
- <math>F(\alpha) := I(x_\alpha)</math>
definierte Funktion <math>F\colon (-\epsilon,\epsilon)\to\R</math> an der Stelle <math>\alpha=0</math> differenzierbar.
Die stetige Funktion <math>F</math> nimmt dann an der Stelle <math>\alpha=0</math> ein lokales Minimum an, da <math>x_0=x</math> ein lokales Minimum von <math>I</math> ist.
Aus der Analysis für reelle Funktionen in einer reellen Veränderlichen ist bekannt, dass dann <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}F(\alpha)|_{\alpha=0}=0</math> gilt. Auf das Funktional übertragen heißt das
- <math>
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}I(x_\alpha)\right|_{\alpha=0}=0. </math>
Beim Aufstellen der gewünschten Gleichungen für stationäre Funktionen wird dann noch ausgenutzt, dass die vorstehende Gleichung für jede beliebige („gutartige“) Familie <math>(x_\alpha)_{\alpha\in(-\epsilon,\epsilon)}</math> mit <math>x_0 = x</math> gelten muss.
Das soll im nächsten Abschnitt anhand der Euler-Gleichung demonstriert werden.
Euler-Lagrange-Gleichung; Variationsableitung; weitere notwendige bzw. hinreichende Bedingungen
Gegeben seien zwei Zeitpunkte <math>t_a,t_e\in\R</math> mit <math>t_e>t_a</math> und eine in allen Argumenten zweifach stetig differenzierbare Funktion, die Lagrangefunktion
- <math>\mathcal{L}\colon (t_a,t_e)\times G\to\R\ ,\quad G \subset \R^n\times\R^n\ ,\quad G\text{ offen}</math>.
Beispielsweise ist bei der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens mit Masse <math>m</math> und <math>c = 1</math>
- <math>\mathcal{L}(t,x,v)= -m \sqrt{1-v^2}</math>
das Gebiet <math>G</math> das kartesische Produkt von <math>\R^3</math> und dem Inneren der Einheitskugel.
Als Funktionenraum <math>X</math> wird die Menge aller zweifach stetig differenzierbaren Funktionen
- <math>x\colon[t_a,t_e]\to\R^n</math>
gewählt, die zum Anfangszeitpunkt <math>t_a</math> und zum Endzeitpunkt <math>t_e</math> die fest vorgegebenen Orte <math>x_a</math> bzw. <math>x_e</math> einnehmen:
- <math>x(t_a)=x_a \ ,\quad x(t_e)=x_e</math>
und deren Werte zusammen mit den Werten ihrer Ableitung in <math>G</math> liegen,
- <math>\forall t\in [t_a,t_e]\colon \left(x(t), \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right) \in G</math>.
Mit der Lagrangefunktion <math>\mathcal{L}</math> wird nun das Funktional <math>I\colon X\to\R</math>, die Wirkung, durch
- <math>I(x) := \int\limits_{t_a}^{t_e} \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))\,\mathrm{d}t </math>
definiert. Gesucht ist diejenige Funktion <math>x\in X</math>, die die Wirkung <math>I</math> minimiert.
Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien <math>(x_\alpha)_{\alpha\in(-\epsilon,\epsilon)}\subset X</math>, die für <math>\alpha=0</math> durch die stationäre Funktion <math>x</math> des Funktionals gehen (es gilt also <math>x_0=x</math>). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung
- <math> 0=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} I(x_\alpha)\right|_{\alpha=0}
=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} \int\limits_{t_a}^{t_e} \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0} </math>.
Hereinziehen der Differentiation nach dem Parameter <math>\alpha</math> in das Integral liefert mit der Kettenregel (Leibnizregel für Parameterintegrale)
- <math>\begin{align}
0 &= \left[\int\limits_{t_a}^{t_e}\left(\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha x_\alpha(t) + \partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha\dot x_\alpha(t) \right)\,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}\\ &=\left[\int\limits_{t_a}^{t_e}\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha x_\alpha(t)\,\mathrm{d}t + \int\limits_{t_a}^{t_e}\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha\dot x_\alpha(t) \,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0}. \end{align}</math>
Dabei stehen <math>\partial_2,\partial_3</math> für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und <math>\partial_\alpha</math> für die partielle Ableitung nach dem Parameter <math>\alpha</math>.
Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt <math>\partial_\alpha \dot x_\alpha(t)</math> wie im ersten Integral <math>\partial_\alpha x_\alpha(t)</math> steht. Das erreicht man durch partielle Integration:
- <math>
0=\left.\left.\left[\int\limits_{t_a}^{t_e}\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\,\partial_\alpha x_\alpha(t)\,\mathrm{d}t + \right[\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\,\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{t=t_a}^{t_e}\right. </math>
- <math> -
\left .\int\limits_{t_a}^{t_e}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\right)\,\partial_\alpha x_\alpha(t) \,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0} </math>
An den Stellen <math>t=t_a</math> und <math>t=t_e</math> gelten unabhängig von <math>\alpha</math> die Bedingungen <math>x_\alpha(t_a)=x_a</math> und <math>x_\alpha(t_e)=x_e</math>. Ableiten dieser beiden Konstanten nach <math>\alpha</math> liefert <math>\partial_\alpha x_\alpha(t_a) = \partial_\alpha x_\alpha(t_e) =0</math>. Deshalb verschwindet der Term <math>\left[\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{t=t_a}^{t_e}</math> und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von <math>\partial_\alpha x_\alpha</math> die Gleichung
- <math>
0=\left[\int\limits_{t_a}^{t_e}\left(\partial_2 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t)) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x_\alpha(t),\dot x_\alpha(t))\right)\,\partial_\alpha x_\alpha(t) \,\mathrm{d}t\right]_{\alpha=0} </math> und mit <math>x_\alpha(t)|_{\alpha=0} = x(t)</math>
- <math>
0=\int\limits_{t_a}^{t_e}\left(\partial_2 \mathcal{L}\left(t,x\left(t\right),\dot x\left(t\right)\right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}\left(t,x\left(t\right),\dot x\left(t\right)\right)\right)\left[\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{\alpha=0} \,\mathrm{d}t. </math> Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt <math>x_\alpha(t)</math> keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen <math>t\mapsto\left[\partial_\alpha x_\alpha(t)\right]_{\alpha=0}</math> bis auf die Bedingungen <math>\partial_\alpha x_\alpha(t_a) = \partial_\alpha x_\alpha(t_e) =0</math> beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung also nur dann für alle zulässigen <math>\left[\partial_\alpha x_\alpha\right]_{\alpha=0}</math> erfüllt sein, wenn der Faktor <math display="inline">\partial_2 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t)) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t))</math> im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion <math>x</math> die Euler-Lagrange-Gleichung
- <math>
\partial_2 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t)) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\partial_3 \mathcal{L}(t,x(t),\dot x(t)) = 0 </math>, die für alle <math>t\in(t_a,t_e)</math> erfüllt sein muss.
Die angegebene, zum Verschwinden zu bringende Größe bezeichnet man auch als Eulerableitung der Lagrangefunktion <math>\mathcal{L}</math>,
- <math>\frac{\hat{\partial}\mathcal{L}}{\hat{\partial}x}(t)
- =\left.\frac{\partial \mathcal{L}(t,x,\dot x)}{\partial x}\right|_{(t,x(t),\dot x(t))}
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left(\left.\frac{\partial \mathcal{L}(t,x,\dot x)}{\partial \dot x}\right|_{(t,x(t),\dot x(t))}\right) \,.</math>
Vor allem in Physikbüchern wird die Ableitung <math>\left.\partial_{\alpha}\right|_{\alpha=0}</math> als Variation bezeichnet. Dann ist <math>\delta x = \left.\partial_\alpha x_\alpha\right|_{\alpha=0}</math> die Variation von <math>x</math>. Die Variation der Wirkung
- <math>\delta I(x,\delta x) = \int\frac{\delta I}{\delta x(t)}\delta x(t)\,\mathrm d t</math>
ist wie bei <math display="inline">\mathrm d f= \sum_i (\partial_i f)\mathrm d x^i </math> eine Linearform in den Variationen der Argumente, ihre Koeffizienten <math display="inline">\frac{\delta I}{\delta x(t)}</math> heißen Variationsableitung des Funktionals <math>I</math>. Sie ist im betrachteten Fall die Eulerableitung der Lagrangefunktion
- <math>\frac{\delta I}{\delta x(t)}=
\frac{\hat{\partial}\mathcal{L}}{\hat{\partial}x}(t) </math>.
Bemerkungen
Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wurde berücksichtigt, dass eine stetige Funktion <math>a</math>, die für alle mindestens zweimal stetig differenzierbaren Funktionen <math>b</math> mit <math>\,b(t_a)=b(t_e)=0</math> bei Integration über
- <math>
\int_{t_a}^{t_e} a(t)b(t)\,\mathrm{d}t </math>
den Wert null ergibt, identisch gleich null sein muss.
Das ist leicht einzusehen, wenn man berücksichtigt, dass es zum Beispiel mit
- <math>b(t):=
\begin{cases} 0 &\text{für } t \leq t_{0}-\epsilon \text{ oder } t \geq t_{0}+\epsilon\\ (t-t_{0}+\epsilon)^3(t_{0}-t+\epsilon)^3 &\text{für } t\in(t_{0}-\epsilon,t_{0}+\epsilon) \end{cases} </math>
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt, die in einer <math>\epsilon</math>-Umgebung eines willkürlich herausgegriffenen Zeitpunktes <math>t_0\in(t_a,t_e)</math> positiv und ansonsten null ist. Gäbe es eine Stelle <math>t_0</math>, an der die Funktion <math>a</math> größer oder kleiner null wäre, so wäre sie aufgrund der Stetigkeit auch noch in einer ganzen Umgebung <math>(t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)</math> dieser Stelle größer bzw. kleiner null. Mit der eben definierten Funktion <math>b</math> ist dann jedoch das Integral <math display="inline">\int\limits_{t_a}^{t_b} a(t)b(t)\,\mathrm{d}t</math> im Widerspruch zur Voraussetzung an <math>a</math> ebenfalls größer bzw. kleiner null. Die Annahme, dass <math>a</math> an einer Stelle <math>t_0</math> ungleich null wäre, ist also falsch. Die Funktion <math>a</math> ist also wirklich identisch gleich null.
Ist der Funktionenraum <math>X</math> ein affiner Raum, so wird die Familie <math>(x_\alpha)_{\alpha\in(-\epsilon,\epsilon)}</math> in der Literatur oftmals als Summe <math>x_\alpha(t) := x(t)+\alpha h(t)</math> mit einer frei wählbaren Zeitfunktion <math>h</math> festgelegt, die der Bedingung <math>h(t_a)=h(t_e)=0</math> genügen muss. Die Ableitung <math>\left.\partial_\alpha I(x_{\alpha})\right|_{\alpha=0}</math> ist dann gerade die Gateaux-Ableitung <math>\left.\partial_\alpha I(x+\alpha h)\right|_{\alpha=0}</math> des Funktionals <math>I</math> an der Stelle <math>x</math> in Richtung <math>h</math>. Die hier vorgestellte Version erscheint dem Autor etwas günstiger, wenn die Funktionenmenge <math>X</math> kein affiner Raum mehr ist (wenn sie beispielsweise durch eine nichtlineare Nebenbedingung eingeschränkt ist; siehe etwa gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges). Sie ist ausführlicher bei Smirnow<ref>Wladimir I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 5a). Teil 4, 1. (14. Auflage, deutschsprachige Ausgabe der 6. russischen Auflage). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00366-8.</ref> dargestellt und lehnt sich an die Definition von Tangentialvektoren an Mannigfaltigkeiten an.<ref>Siehe auch Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker. Band 3: Variationsrechnung, Differentialgeometrie, mathematische Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0031-9.</ref>
Im Falle eines weiteren, einschränkenden Funktionals <math display="inline">J(x) = \int j(t, x, \dot x, \ddot x, \dots, x^{(n)})d^dt</math>, der den Funktionenraum <math>X</math> dadurch einschränkt, dass <math>J(x)= 0</math> gelten soll, kann man analog zum reellen Fall das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren anwenden:
- <math>\frac {\delta I} {\delta x_i} = \lambda \frac {\delta J} {\delta x_i}</math>
für beliebiges <math>i = 1, \dotsc, n</math> und ein festes <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>.
Verallgemeinerung für höhere Ableitung und Dimensionen
Die obige Herleitung mittels partieller Integration lässt sich auf Variationsprobleme der Art
- <math>I(\varphi ) = \int \mathcal{L}(\varphi (x), \partial_1 \varphi (x), \dots, \partial_d \varphi(x), \dots ) \mathrm{d}^d x </math>
übertragen, wobei in den Abhängigkeiten Ableitungen <math>D^\alpha \varphi (x)</math> (siehe Multiindex-Notation) auch höherer Ordnung auftauchen, etwa bis zur Ordnung <math>\vert \alpha \vert \leq N</math>. <math>D^\alpha</math> ist gerade der Differentialoperator. In diesem Fall lautet die Euler-Lagrange-Gleichung:
- <math>\sum_{\vert \alpha \vert \leq N} (-1)^{\vert \alpha \vert} D^{\alpha} \frac{\delta \mathcal L}{\delta (D^\alpha \varphi (x) )} = 0,</math>
wobei die Euler-Ableitung als
- <math>\frac{\delta \mathcal L}{\delta (D^\alpha \varphi (x))} := \left. \frac{\partial \mathcal L}{\partial (D^\alpha \varphi )} \right\vert_{\varphi = \varphi (x), \partial_1 \varphi = \partial_1 \varphi (x), \dots}</math>
zu verstehen ist. Hierbei sind in <math>D^\alpha \varphi</math> in selbsterklärender Weise symbolisch die entsprechende Abhängigkeit von <math>\mathcal L</math> repräsentiert, <math>D^\alpha \varphi (x)</math> steht für den konkreten Wert der Ableitung von <math>\varphi(x)</math>. Insbesondere wird auch über <math>\alpha = 0</math> summiert.
Weiterführende Verallgemeinerungen
Verallgemeinerungen für mehrere Funktionen, Dimensionen und auf Mannigfaltigkeiten können gemacht werden. In diesem Zusammenhang ist es günstig, einen sog. Euler-Operator einzuführen und davon gebrauch zu machen, wobei verschiedene Ansätze für den Operator existieren.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Euler operator – Encyclopedia of Mathematics|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Euler operator – Encyclopedia of Mathematics}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://encyclopediaofmath.org/wiki/Euler_operator%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Euler operator – Encyclopedia of Mathematics}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Euler_operator}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Euler operator – Encyclopedia of Mathematics}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2022-10-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Siehe auch
- Banachraum
- Ginzburg-Landau-Theorie (vgl. auch Landau-Theorie)
- Hamilton-Jacobi-Formalismus
- Schwingers Quantenwirkungsprinzip
- Variation der Elemente
Weblinks
Journale & andere Beiträge
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Schools & Workshops
- 2nd Austrian Calculus of Variations Day (2022) – Universität Wien
- Advances in Calculus of Variations (2022) – Verschiedene Sponsoren
- Trends in Calculus of Variations and PDEs (2022) – University of Sussex, Universität Gent
Literatur
Moderne Lehrbücher
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Monografien
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Klassische und historische Werke
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}}. Dover 2018 (englisch).
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- Adolf Kneser: Variationsrechnung. In: Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Band 2: Analysis. Teil 1. B. G. Teubner, Leipzig 1898, S. 571–625; sub.uni-goettingen.de
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- Paul Stäckel (Hrsg.): Abhandlungen über Variations-Rechnung. 2 Theile. Wilhelm Engelmann, Leipzig 1894;
- Theil 1: Abhandlungen von Joh. Bernoulli (1696), Jac. Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744)). 1894 (Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, 46, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0232-3419|0}}{{#ifeq:1|0|[!]
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- Friedrich Stegmann; Lehrbuch der Variationsrechnung und ihrer Anwendung bei Untersuchungen über das Maximum und Minimum. Kassel, Luckhardt 1854.
Einzelnachweise
<references />
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