Gâteaux-Differential
Vorlage:Hinweisbaustein Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion <math>f \colon G \to \mathbb{R},\ G \subset \mathbb{R}^n</math> offene Menge, die an der Stelle <math>x_0 \in G</math> differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung
- <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots,x_{0,i}+h,\ldots,x_{0,n})-f(x_0)}{h},\ \ (i={1,2,...,n})</math>.
Insbesondere ergibt sich für <math>n=1</math> das bekannte Differential
- <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>.
Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.
Definitionen
Weierstraßsche Zerlegungsformel
Sei <math>f \colon D \subset X \to Y</math> mit <math>D</math> offen und <math>X,Y</math> normierte Räume. Dann heißt <math>f</math> in <math>x_0 \in D</math> Gâteaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion <math>A\in L(X,Y)</math> existiert, sodass
- <math>\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}[f(x_0 + th) - f(x_0) - tAh] = 0</math>
für alle <math>h \in X</math> mit <math>\lVert h \rVert = 1</math>. Dies ist äquivalent zu
- <math>f(x_0 + th) - f(x_0) = tAh + o(|t|)</math>.
Dann bezeichnet man <math>A =: f'(x_0)</math> als die Gâteaux-Ableitung von <math>f</math> im Punkt <math>x_0</math>.
1. Variation; Variationsableitung
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Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich <math>f \colon D(f) \to \mathbb{R}</math> ein in <math> D(f) \subseteq \Omega</math> definiertes Funktional; <math>\Omega</math> sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm <math>\|\cdot\|</math>) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei <math>x_0 \in D(f)</math> und <math>v \in \Omega</math>. Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle <math>x_0</math> in Richtung <math>v</math>, falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach <math>\varepsilon</math>:
- <math>\delta f(x_0, v) =\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x_0+\varepsilon\cdot v)-f(x_0)}{\varepsilon } = \left. \frac{\mathrm{d}f(x_0+\varepsilon\cdot v)}{\mathrm{d}\varepsilon} \right|_{\varepsilon=0}</math>
oder auch für <math>x_1 \in D(f)</math> durch
- <math>\delta f(x_0,x_1-x_0)
=\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{f(x_0+\varepsilon\cdot (x_1-x_0))-f(x_0)}{\varepsilon}\,.\,</math>
Man beachte dabei <math>x_0 \in D(f)</math>, <math> v \in \Omega</math> und ebenfalls <math> x_1- x_0</math> darin, aber <math>\varepsilon \in \mathbb{R}</math>.
Die Gâteaux-Ableitung nach <math>\varepsilon</math> ist bezüglich der Größe <math> h:= x_1- x_0</math> ein Funktional, das auch als 1. Variation von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet wird.
Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben <math>I</math> bezeichnet, und statt der Größe <math> h:= x_1- x_0</math> schreibt man meist <math> \delta q(x)</math>, mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung <math>\tfrac{d I(x+\varepsilon\cdot h)}{d\varepsilon}_{\,|\varepsilon=0}</math> führt man in einem Zusatzschritt die Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.
Beispiel
Für
- <math>f(\varepsilon ):=\int\,{\rm d}t\, \mathcal L \left( t,q(t)+\varepsilon\cdot\delta q(t), \dot q(t)+\varepsilon\cdot\frac{{\rm d} (\delta q(t))}{{\rm d} t}\right)</math>
erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form <math>\textstyle \frac{{\rm d}f}{{\rm d}\varepsilon}(\varepsilon \to 0)\,=\,\int\,{\rm d}t \,\frac{\delta \mathcal L}{\delta q(t)}\cdot \delta q(t)</math> mit der Variationsableitung
- <math>\frac{\delta \mathcal L}{\delta q(t)}\equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial q(t)}-\fracVorlage:\rm d{{\rm d}t}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q(t)}\,.</math>
(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}</math> einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall <math> \mathcal L=\mathcal L(x_1, ..., x_n)</math>. So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier <math>\delta f</math>, das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)
Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.
2. Variation
- <math>\delta^2 f(x_0,v) = \left. \frac{\mathrm{d}^2 f(x_0+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm{d}\varepsilon^2} \right|_{\varepsilon=0}</math>
Halbseitiges Differential und Richtungsableitung
Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch
- <math>\delta_+ f(x_0,v)
=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{f(x_0+\varepsilon\cdot v)-f(x_0)}{\varepsilon }</math> beziehungsweise durch
- <math>\delta_- f(x_0,v) =\lim_{\varepsilon \to 0^-} \frac{f(x_0+\varepsilon\cdot v)-f(x_0)}{\varepsilon }</math>
definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> genannt. Für die zum Vektor <math>v</math> gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von <math>f</math> in Richtung <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>.
Gâteaux-Ableitung
Ist <math>\delta f(x_0,v)</math> ein in <math>v</math> stetiges lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch <math>v \mapsto \delta f(x_0,v)</math> ist homogen, additiv und stetig im Argument <math>v</math>), dann heißt <math>f'(x_0)</math> Gâteaux-Ableitung an der Stelle <math>x_0</math> und <math>f</math> Gâteaux-differenzierbar in <math>x_0</math>.
Eigenschaften der 1. Variation
- Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
<math style="margin-left:2em">\delta f(x_0,k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_0,v)</math>
für alle <math>k \in \mathbb{R}</math>. Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.
- Das Gâteaux-Differential ist eine lineare Operation, es gilt also
<math style="margin-left:2em">\delta(f_1 + f_2)(x_0,v) = \delta f_1(x_0,v) + \delta f_2(x_0,v).</math>
und
<math style="margin-left:2em">k \cdot \delta f(x_0,v) = \delta( k \cdot f)(x_0,v).</math>
für alle <math>k\in \mathbb{R}</math>
Beispiele
- <math>f(x_1,x_2)= 1</math>, falls <math>x_2=x_1^2</math>, <math>x_1\ne 0</math> bzw. <math>0</math> sonst <math>\delta f((0,0),v)=\lim_{t\to 0} \frac{0-0}{t}=0</math>.
- <math>f(x)=|x|,\ x \in \mathbb{R}^n</math> <math>\delta_+ f(0,v)=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\frac{|0+\varepsilon\cdot v|-0}{\varepsilon }=|v|</math>
- <math>f(x_1,x_2)= x_1^2 \left(1+\frac{1}{x_2}\right)</math> für <math>x_2\ne 0</math> und <math>-\frac{x_1^2}{x_2^2}</math> für <math>x_2=0</math>, <math>\nabla f(x_1,x_2)=\left( 2\cdot x_1 \cdot\left(1+\frac{1}{x_2}\right),-\frac{x_1^2}{x_2^2}\right)^T</math>
<math>\delta f((0,0),v)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{(\varepsilon\cdot v_1)^2\cdot\left(1+\frac{1}{\varepsilon\cdot v_2}\right)}{\varepsilon}=\frac{v_1^2}{v_2}</math> (wobei <math>v=(v_1,v_2)^{T}</math>)
Anwendungen
Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei <math>f \colon X \to \mathbb{R},\ X \subset D(f) \subset \Omega</math> offen, <math>\Omega</math> linearer normierter Raum, <math>x_0 \in \operatorname{int}(X)</math> (das Innere der Menge <math>X</math>), <math>\operatorname{int}(X) \ne \emptyset</math> und <math>B_\varepsilon(x_0)</math> der offene Ball um <math>x_0</math> mit Radius <math>\varepsilon</math>. Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei <math>x_0</math> ein lokales Minimum von <math>f</math> auf <math>X</math>, dann ist <math>\delta_+ f(x_0,v)\geq 0\ \forall v \in \Omega</math>, falls das einseitige Gâteaux-Differential in <math>x_0</math> existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: <math>f</math> besitze in <math>B_\varepsilon (x_0)</math> eine 2. Variation <math>\forall v \in \Omega</math> und <math>\forall x \in B_\varepsilon (x_0)</math>. Falls gilt <math>\delta f(x_0,v)=0\ \forall v \in \Omega</math> und für ein <math>c>0</math> <math>\delta^2 f(x_0,v)\geq c\cdot\|v\|^2\ \forall v \in \Omega</math> und <math>\forall x \in B_\varepsilon (x_0)</math>, dann ist <math>x_0</math> strenge lokale Minimalstelle von <math>f</math> auf <math>\operatorname{int}(X)</math>.