Tits-System

Ein Tits-System (oft synonym auch BN-Paar genannt) wird in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie benutzt, um viele Resultate aus der Theorie der halbeinfachen Lie-Gruppen, der algebraischen Gruppen und der endlichen Gruppen vom Lie-Typ einheitlich formulieren und beweisen zu können. Außerdem bilden die Tits-Systeme das algebraische Gegenstück zur Gebäude-Theorie. Der Begriff wurde von Jacques Tits eingeführt.

Definition

Ein Tits-System besteht aus einem 4-Tupel <math>(G,B,N,S)</math>, wobei <math>G</math> eine Gruppe ist, <math>B</math> und <math>N</math> Untergruppen von <math>G </math> sind und <math> S\subseteq N/(B\cap N)</math> eine Menge von Nebenklassen von <math>B\cap N</math> in <math>N</math> ist, sodass folgende vier Axiome erfüllt sind:

T 1:	Die Gruppe <math>G</math> wird von <math>B</math> und <math>N</math> erzeugt. Außerdem ist <math>H:=B\cap N</math> ein Normalteiler in <math>N</math>.
T 2:	Die Faktorgruppe <math>W:= N/H </math> wird von der Menge <math>S</math> erzeugt und es gilt <math>s^2=1</math> für alle <math> s\in S</math>.
T 3:	Für <math>s\in S </math> und <math>w\in W </math> gilt <math> sBw \subseteq BswB \cup BwB</math>.
T 4:	Für <math>s\in S </math> ist <math>sBs^{-1} </math> keine Teilmenge von <math> B</math>.

Die Nummerierung T1 bis T4 stammt aus Tits' Originalarbeit.

Beispiele

Oft wird als Standardbeispiel die Gruppe <math>G:=\mathrm{GL}(n,K)</math> der invertierbaren <math>n\times n </math>-Matrizen über einem Körper <Math>K</Math> angegeben. Hierbei ist <Math>B</Math> die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für die Gruppe <Math>N</Math> nehmen wir alle Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null haben. Die Gruppe <math>H:=B\cap N </math> wird dann genau zu der Gruppe der Diagonalmatrizen und <math>W=N/H </math> ist kanonisch isomorph zur symmetrischen Gruppe über <Math>n</Math> Elementen. Die Menge <Math>S</Math> besteht aus den Permutationen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen.
Sei allgemeiner <Math>G</Math> eine reduktive algebraische Gruppe und <Math>B</Math> eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus <Math>H</Math> enthält. Sei <Math>N</Math> der Normalisator von <Math>H</Math> in <Math>G</Math> und <Math>S</Math> ein minimales Erzeugendensystem von <Math>W:=N/H</Math>. Dann ist <Math>(G,B,N,S)</Math> ein Tits-System.
Sei <Math>X</Math> eine Menge mit mindestens drei Elementen und <Math>G</Math> eine Untergruppe der Permutationsgruppe von <math>X</Math>, sodass <Math>G</Math> zweifach transitiv auf <Math>X</Math> wirkt. Weiterhin seien zwei unterschiedliche Elemente <math>x,y\in X </math> gegeben. Dann sei <Math>B</Math> der Stabilisator von <Math>x</Math> in <Math>G</Math> und <Math>N</Math> sei definiert als die Gruppe, die die Menge <math> \{ x,y \}</math> als Menge fixiert, d. h. die Elemente <Math>x</Math> und <Math>y</Math> werden entweder beide fixiert oder vertauscht. Dann ergibt sich <math>H:= B \cap N</math> als punktweiser Stabilisator der Menge <math> \{x,y\}</math>. Die Faktorgruppe <Math>W:=N/H</math> hat Ordnung 2 und die Menge <Math>S</Math> besteht nur aus einem einzigen Element und dieses entspricht der Vertauschung von <Math>x</Math> und <Math>y</Math>.

Anmerkungen

Man kann zeigen, dass die Menge <Math>S</Math> eindeutig festgelegt ist, wenn von einem Tits-System nur die Gruppen <Math>G,B,N</Math> gegeben sind. Da außerdem die Gruppe <Math>G</Math> von <Math>B</Math> und <Math>N</Math> erzeugt wird, steckt die gesamte Information über das Tits-System in den Gruppen <Math>B</Math> und <Math>N</Math>. Deswegen hat sich auch die Bezeichnung BN-Paar eingebürgert.

Bruhat-Zerlegung

Ein wichtiges Resultat, das sich im allgemeinen Rahmen von Tits-Systemen beweisen lässt, ist die sogenannte Bruhat-Zerlegung: Wenn ein Tits-System <Math>(G,B,N,S)</Math> gegeben ist, dann gilt

<math>G=BNB = \bigcup_{n\in N} BnB = \bigcup_{w\in W} BwB</math>,

wobei <math>\textstyle \bigcup_{w\in W} BwB</math> eine disjunkte Vereinigung ist, das heißt <math>W</math> ist so gewählt, dass für <math>w\neq w'</math> die Mengen <Math>BwB</Math> und <Math>Bw'B</math> disjunkt sind.

Anwendungen

Wenn bei einem Tits-System <Math>(G,B,N,S)</Math> noch die folgenden Zusatzeigenschaften erfüllt sind:

<Math>B</Math> ist auflösbar
Der Schnitt aller Konjugate von <Math>B</Math> ist trivial
Die Menge <Math>S</Math> lässt sich nicht in zwei disjunkte nichtkommutierende Teilmengen zerlegen
<Math>G</Math> ist perfekt

Dann ist die Gruppe <Math>G</Math> eine einfache Gruppe. Oft ist es sehr leicht, die ersten drei Eigenschaften nachzuprüfen und es bleibt nur noch die Perfektheit von <Math>G</Math> zu zeigen, was deutlich einfacher ist, als direkt zu zeigen, dass <Math>G</Math> eine einfache Gruppe ist. Dieses Resultat benutzt man zum Beispiel bei der Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen, um zu zeigen, dass die meisten endlichen Gruppen vom Lie-Typ einfach sind.

Zusammenhang mit Gebäudetheorie

Oft ist es hilfreich, Gruppen zu untersuchen, indem man sie auf interessanten geometrischen Objekten wirken lässt. Jedem Tits-System <Math>(G,B,N,S)</Math> lässt sich auf kanonische Art und Weise ein geometrisches Objekt zuordnen, genannt Gebäude, sodass <Math>G</Math> auf diesem Gebäude wirkt. Umgekehrt lässt sich auch jedem Gebäude ein Tits-System zuordnen, sodass die gruppentheoretische Theorie der Tits-Systeme in gewisser Art und Weise äquivalent zur geometrischen Theorie der Gebäude ist.

Weblinks

Jacques Tits: Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algèbres de Clifford. Inventiones Mathematicae 1968
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