Algebraische Gruppe
Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.
Definition
Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper <math>k</math>, d. h. eine algebraische Varietät <math>G</math> über <math>k</math> zusammen mit
- einem Morphismus <math>m\colon G\times G\to G</math> (Multiplikation)
- einem Morphismus <math>i\colon G\to G</math> (inverses Element)
- und einem ausgezeichneten Punkt <math>e\in G(k)</math> (neutrales Element),
so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Assoziativgesetz: <math>m\circ(m\times\mathrm{id}_G)=m\circ(\mathrm{id}_G\times m)</math>;
- neutrales Element: <math>m\circ(\mathrm{id}_G\times e)=\mathrm{id}_G=m\circ(e\times\mathrm{id}_G)</math>;
- inverses Element: <math>m\circ(i\times\mathrm{id}_G)\circ\Delta_G=e\circ\xi=m\circ(\mathrm{id}_G\times i)\circ\Delta_G</math>; dabei ist <math>\Delta_G\colon G\to G\times G</math> die Inklusion der Diagonale (<math>g \mapsto (g, g)</math>) und <math>\xi\colon G\to \mathrm{Spec}(k)</math> der Strukturmorphismus.
Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass <math>(m,i,e)</math> für jedes <math>k</math>-Schema <math>T</math> auf der Menge <math>G(T)</math> der <math>T</math>-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.
Beispiele
- Die additive Gruppe <math>\mathbb G_{\mathrm a}</math>: <math>\mathbb G_{\mathrm a}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T)</math> mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für <math>T=k</math> ist <math>\mathbb G_{\mathrm a}(k)=(k,+)</math> die affine Gerade <math>\mathbb{A}^1(k)</math> mit der Addition.
- Die multiplikative Gruppe <math>\mathbb G_{\mathrm m}</math>: <math>\mathbb G_{\mathrm m}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^\times)</math> mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für <math>T=k</math> ist <math>\mathbb G_{\mathrm m}(k)=(k^\times,\cdot)</math> die offene Teilmenge <math>\mathbb{A}^1(k)\setminus\left\{0\right\}</math> mit der Multiplikation.
- Die allgemeine lineare Gruppe <math>\mathrm{GL}_n</math>: <math>\mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T))</math>; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren <math>n\times n</math>-Matrizen mit Einträgen im Ring <math>\Gamma(T,\mathcal O_T)</math>. <math>\mathrm{GL}_1</math> kann mit <math>\mathbb G_{\mathrm m}</math> identifiziert werden.
- Der Kern eines Morphismus <math>f:G\rightarrow H</math> algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist <math>\mathrm{SL}_n(T)=\mathrm{ker}(\mathrm{det} : \mathrm{GL}_n \to \mathbb G_{\mathrm m})</math> eine algebraische Gruppe.
- Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
- Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von <math>\mathrm{GL}_n</math> werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
- Unipotente algebraische Gruppen.
Satz von Chevalley
Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe.<ref>Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)</ref> Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe <math>G</math> gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe <math>G_{\mathrm{aff}}</math>, diese ist normal und der Quotient <math>A(G):=G/G_{\mathrm{aff}}</math> ist eine abelsche Varietät:
- <math>0\rightarrow G_{\mathrm{aff}}\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0</math>.
Die Abbildung <math>G\rightarrow A(G)</math> ist die Albanese-Abbildung.
Einzelnachweise
<references />
Literatur
- James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 3-540-90108-6.
- Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2.
- Tonny A. Springer: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Birkhäuser, Boston 1998, ISBN 3-7643-4021-5.
- Ina Kersten: Lineare algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, (PDF; 1,4 MB).