Suslin-Hypothese

In der Mengenlehre postuliert die Suslin-Hypothese (benannt nach dem russischen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin) eine spezielle Charakterisierung der Menge der reellen Zahlen. Sie ist in dem üblichen System der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweis- noch widerlegbar.

Motivation

Georg Cantor zeigte folgende ordnungstheoretische Charakterisierung der reellen Zahlen: Eine nichtleere lineare Ordnung <math>\langle P,<\rangle</math> ist genau dann isomorph zu <math>\langle\R,<\rangle</math> falls gilt:

<math>P</math> ist unbeschränkt: Für jedes <math>p\in P</math> gibt es <math>q,r\in P</math> sodass <math>q<p<r</math>.
<math>P</math> ist dicht: Für jedes Paar <math>p,q\in P</math> mit <math>p<q</math> gibt es ein <math>r\in P</math> sodass <math>p<r<q</math>.
<math>P</math> ist vollständig: Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von <math>P</math> hat ein Supremum in <math>P</math>.
<math>P</math> ist separabel: <math>P</math> enthält eine abzählbare, dichte Teilmenge.

Jede solche lineare Ordnung <math>\langle P,<\rangle</math> erfüllt zudem die sogenannte abzählbare Antikettenbedingung:

Jede Familie von offenen, paarweise disjunkten Intervallen von <math>P</math> ist höchstens abzählbar.

Der Beweis dieser zusätzlichen Eigenschaft folgt direkt der Separabilität. Suslin stellte 1920 die Hypothese auf, dass auch die Umkehrung gilt, also Separabilität und abzählbare Antikettenbedingung äquivalent sind<ref>Michail J. Suslin: Problème 3. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1. 1920, S. 223.</ref>.

Formulierung und Konsequenzen

Die Suslin-Hypothese lässt sich also ausdrücken:

Jede unbeschränkte, dichte, vollständige lineare Ordnung, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, ist isomorph zu der Ordnung der reellen Zahlen.

Ronald Jensen zeigte 1968, dass in dem Modell <math>L</math> der konstruktiblen Mengen die Suslin-Hypothese falsch ist<ref>Ronald Jensen: Souslin’s hypothesis is incompatible with V=L. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 15, 1968, S. 935.</ref>. Mit Hilfe der Forcing-Methode konstruierten Robert M. Solovay und Stanley Tennenbaum 1971 ein Modell, in dem die Hypothese wahr ist<ref>Robert M. Solovay, Stanley Tennenbaum: Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 94. 1971, S. 201–245.</ref>, sie ist also weder beweis- noch widerlegbar.

Einzelnachweise

Literatur

Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.