disjunkt
{{#if: behandelt disjunkte Mengen. Siehe auch Disjunktion (Begriffsklärung).
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In der Mengenlehre heißen zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=la |SCRIPTING=Latn |SERVICE=lateinisch}} ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.
Definitionen
Zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math> sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:
- <math>A\cap B=\emptyset</math>.
Eine Familie von Mengen <math>(M_i)_{i\in I}</math> ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:
- <math> M_i \cap M_j = \emptyset</math> für <math>i \ne j</math> und <math>i,j\in I</math>.
Dies lässt sich auch ohne Rückgriff auf Negationen formulieren:
- <math>i = j</math> für alle <math>i,j \in I</math> und <math>x \in M_i \cap M_j</math>.
Die Vereinigung <math>M</math> einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als
- <math>M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i</math>.
Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von <math>M</math> vor.
Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.
Beispiele
- Die Mengen <math>A = \{1, 2, 3\}</math> und <math>B = \{7, 8, 11\}</math> sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
- Die Mengen <math>A = \{1, 2, 7\}</math> und <math>B = \{6, 7, 8, 11\}</math> sind nicht disjunkt, da sie das Element <math>7</math> gemeinsam haben.
- Die drei Mengen <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{4, 5\}</math> und <math>C = \{5, 6, 7\}</math> sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich <math>B \cap C</math>) nicht leer ist.
- Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: <math>\{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots</math>.
- Zwei verschiedene Geraden <math>g</math> und <math>h</math> in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden <math>g</math> bildet eine Partition der Ebene.
Weitere Beispiele:
-
Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
-
Ein paarweise disjunktes Mengensystem
-
Ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem
Anwendung
Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.
Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?
- 0 bis 1000 Euro
- 500 und mehr Euro.
Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.
Eigenschaften
- Die leere Menge <math>\emptyset</math> ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
- <math>\{a\}</math> und <math>B</math> sind genau dann disjunkt, wenn <math>a \notin B</math>.
- Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
- Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
- Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt<ref>Siehe die Antworten zur Frage „Is the empty family of sets pairwise disjoint?“</ref>
Siehe auch
- Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.
Weblinks
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Einzelnachweise
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