Lineare Disjunktheit

In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper <math>M</math> und <math>N</math> einer Körpererweiterung <math>L/K</math> linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von <math>M</math>, die über <math>K</math> linear unabhängig ist, auch über <math>N</math> linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

<math>M\otimes_KN\to L</math>

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von <math>M</math> und <math>N</math> ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper <math>K</math>, d. h.

<math>M\cap N=K.</math>

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen <math>M/K</math> und <math>N/K</math> endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe

• Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> ist genau dann regulär, wenn <math>L</math> linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss <math>\bar K</math> von <math>K</math> ist.
• Eine Erweiterung <math>L</math> eines Körpers <math>K</math> der Charakteristik <math>p>0</math> ist genau dann separabel, wenn <math>L</math> linear disjunkt zu

<math>K^{p^{-\infty}}=\{x\in\bar K\mid\exists n\colon x^{p^n}\in K\}</math>

ist.

Literatur

• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26