Körperkompositum

In der Mathematik ist das Kompositum zweier Körper ihr kleinster gemeinsamer Oberkörper.

Für die in diesem Artikel verwendeten Begriffe (wie „Körperadjunktion“, „Zwischenkörper“ und „Erweiterungsgrad“), siehe Körpererweiterung.

Sind <math>A</math> und <math>B</math> Unterkörper des Körpers <math>K</math>, dann definiert man das Körperkompositum <math>AB</math> als

Dabei bezeichnet A(B) die Körperadjunktion der Menge <math>B</math> an den Körper <math>A</math>, sie besteht aus allen Brüchen von <math>A</math>-Linearkombinationen von Elementen aus <math>B</math>. Die Adjunktion ist in diesem Fall symmetrisch, d. h. <math>A(B)=B(A)</math>.

Sind <math>A</math> und <math>B</math> Zwischenkörper einer Körpererweiterung <math>L/K</math>, und sind beide endliche Erweiterungen von <math>K</math>, dann ist der Erweiterungsgrad des Kompositums höchstens gleich dem Produkt der beiden einzelnen Erweiterungsgrade und mindestens so groß wie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV):

<math>\operatorname{kgV}(\left[A:K\right],\left[B:K\right])\le\left[AB:K\right]\le\left[A:K\right]\cdot\left[B:K\right].</math>

Sind <math>A</math> und <math>B</math> linear disjunkt, dann ist <math>\left[AB:K\right]=\left[A:K\right]\cdot\left[B:K\right].</math> Dies ist z. B. der Fall, wenn die Erweiterungsgrade von <math>A</math> und <math>B</math> teilerfremd sind.

Man kann auch das Kompositum beliebig vieler Teilkörper eines gemeinsamen Oberkörpers betrachten, so ist z. B. der Körper der algebraischen Zahlen ein Oberkörper jeder endlichen Erweiterung von <math>\Q</math>, und ist gleich dem Kompositum aller endlicher Erweiterungen.