Strukturkonstante

Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.

Definition

Sei <math>V</math> eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer <math>[\cdot, \cdot]</math> und sei <math>\{x_1 , \ldots , x_n\}</math> eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle <math>i, j \in {1, \ldots n}</math> die Zerlegung

<math>[x_i,x_j] = \sum_{k=1}^n c_{ij}^k x_k</math>

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die <math>n^3</math> Konstanten <math>c^k_{ij} \in \Complex</math> (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

Eigenschaften

• Antisymmetrie

Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;

<math>c_{ij}^k = - c_{ji}^k</math>

Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes <math>c_{ii}^k = 0</math>.

• Jacobi-Identität

Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:

<math>\sum_{l=1}^n\left( c_{il}^m c_{jk}^l + c_{jl}^m c_{ki}^l + c_{kl}^m c_{ij}^l\right) = 0</math>

• Tensorstruktur

Die Strukturkonstanten sind <math>(2,1)</math>-Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel <math>\textstyle x_i \to x_i' = \sum_{j=1}^n a_i^j x_j</math> gilt:

<math>\sum_{k = 1}^n {c'}_{ij}^k a_k^l = \sum_{r,s = 1}^n c_{rs}^l a_i^r a_j^s</math>

Beispiel

Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math> in der Basis der Pauli-Matrizen <math>\sigma_i, i = 1,2,3</math> gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt

<math>[\sigma_i,\sigma_j] = \sum_{k=1}^3 2 \mathrm i \varepsilon_{ij}^k \sigma_k</math>

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol <math>\varepsilon_{ij}^k</math>.

Literatur

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