Stetiger Funktionalkalkül
In der Mathematik, insbesondere in der Operatortheorie und der Theorie der C*-Algebren, ermöglicht der stetige Funktionalkalkül die Anwendung einer stetigen Funktion auf normale Elemente einer C*-Algebra.
In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses Funktionalkalküls so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, den Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen Banachalgebren, in denen man lediglich einen holomorphen Funktionalkalkül hat, ausmacht.
Motivation
Will man den natürlichen Funktionalkalkül für Polynome auf dem Spektrum <math>\sigma(a)</math> eines Elements <math>a</math> einer Banachalgebra <math>\mathcal{A}</math> zu einem Funktionalkalkül für stetige Funktionen <math>C(\sigma(a))</math> auf dem Spektrum erweitern, so liegt es nahe, eine stetige Funktion gemäß dem Satz von Stone-Weierstraß durch Polynome zu approximieren, das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass diese Folge von Elementen in <math>\mathcal{A}</math> konvergiert. Die stetigen Funktionen auf <math>\sigma(a) \subset \C</math> werden von Polynomen in <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> approximiert, das heißt von Polynomen der Form {{#if:trim|}} Dabei bezeichnet <math>\overline{z}</math> die komplexe Konjugation, welche eine Involution auf den komplexen Zahlen ist. Damit man nun <math>a</math> an Stelle von <math>z</math> in ein solches Polynom einsetzen kann, betrachtet man Banach-*-Algebren, also Banachalgebren, die ebenfalls eine Involution * haben, und setzt <math>a^*</math> an die Stelle von {{#if:trim|<math>\overline{z}</math>.}} Um einen Homomorphismus <math>{\mathbb C}[z,\overline{z}]\rightarrow\mathcal{A}</math> zu erhalten, muss man sich auf normale Elemente einschränken, also Elemente mit <math>a^*a = aa^*</math>, da der Polynomring <math>\C[z,\overline{z}]</math> kommutativ ist. Ist nun <math>(p_n(z,\overline{z}))_n</math> eine Folge von Polynomen, die auf <math>\sigma(a)</math> gleichmäßig gegen eine stetige Funktion <math>f</math> konvergiert, so ist noch die Konvergenz der Folge <math>(p_n(a,a^*))_n</math> in <math>\mathcal{A}</math> gegen ein Element <math>f(a)</math> sicherzustellen. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.
Der stetige Funktionalkalkül
- Satz (Stetiger Funktionalkalkül).
- Sei <math>a</math> ein normales Element der C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> mit Einselement <math>e</math> und sei <math>C (\sigma(a))</math> die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen auf <math>\sigma(a)</math>, dem Spektrum von {{#if:trim|<math>a</math>.}} Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus <math>\Phi_a \colon C (\sigma(a)) \rightarrow \mathcal{A}</math> mit <math>\Phi_a (\boldsymbol{1}) = e</math> für <math>\boldsymbol{1}(z) = 1</math> und <math>\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) = a</math> für die Identität.
Die Abbildung <math>\Phi_a</math> heißt der stetige Funktionalkalkül zum normalen Element {{#if:trim|<math>a</math>.}} Üblicherweise setzt man suggestiv {{#if:trim|}}
Durch die *-Homomorphie-Eigenschaft gelten für alle Funktionen <math>f,g \in C(\sigma(a))</math> und Skalare <math>\lambda,\mu \in \C</math> die folgenden Rechenregeln:
|
(linear) |
|
(multiplikativ) |
|
(involutiv) |
Man kann sich also vorstellen, die normalen Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.
Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und in der so vergrößerten C*-Algebra <math>\mathcal{A}_1</math> arbeiten. Ist dann <math>a \in \mathcal{A}</math> und <math>f \in C(\sigma (a))</math> mit <math>f(0) = 0</math>, so gilt <math>0 \in \sigma (a)</math> und {{#if:trim|<math>f(a)\in \mathcal{A} \subset \mathcal{A}_1</math>.}}
Die Existenz und die Eindeutigkeit des stetigen Funktionalkalküls beweist man getrennt:
- Existenz: Da das Spektrum von <math>a</math> in der von <math>a</math> und <math>e</math> erzeugten C*-Unteralgebra <math>C^*(a,e)</math> dasselbe ist, wie in <math>\mathcal{A}</math> genügt es die Aussage für <math>\mathcal{A} = C^*(a,e)</math> zu zeigen. Die eigentliche Konstruktion des stetigen Funktionalkalküls erfolgt anschließend unter Verwendung der Inversen Gelfand-Transformation.
- Eindeutigkeit: Da <math>\Phi_a(\boldsymbol{1})</math> und <math>\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)})</math> festgelegt sind, ist <math>\Phi_a</math> bereits für alle Polynome <math display="inline">p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \Complex \right)</math> eindeutig festgelegt, da <math>\Phi_a</math> ein *-Homomorphismus ist. Diese bilden nach dem Satz von Stone-Weierstraß eine dichte Unteralgebra von {{#if:trim|<math>C(\sigma(a))</math>.}} Damit ist <math>\Phi_a</math> insgesamt eindeutig.
In der Funktionalanalysis ist man häufig am stetigen Funktionalkalkül für einen normale Operatoren <math>T</math> interessiert, das heißt an dem Fall, dass <math>\mathcal{A}</math> die C*-Algebra <math>\mathcal{B}(H)</math> der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist. Häufig wird in der Literatur der stetige Funktionalkalkül in diesem Setting sogar nur für selbstadjungierte Operatoren bewiesen. Der Beweis kommt in diesem Fall ohne die Gelfand-Transformation {{#if:trim|aus.<ref>Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222–223.</ref>}}
Weitere Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls
Der stetige Funktionalkalkül <math>\Phi_a</math> ist ein isometrischer Isomorphismus auf die von <math>a</math> und <math>e</math> erzeugte C*-Unteralgebra <math>C^*(a,e)</math>, das heißt:
- <math>\left\| \Phi_a (f) \right\| = \left\| f \right\|_{\sigma(a)}</math> für alle <math>f \in C(\sigma(a))</math>; <math>\Phi_a</math> ist somit stetig.
- <math>\Phi_a \left( C(\sigma(a)) \right) = C^*(a, e) \subseteq \mathcal{A}</math>
Da <math>a</math> ein normales Element von <math>\mathcal{A}</math> ist, ist die von <math>a</math> und <math>e</math> erzeugte C*-Unteralgebra kommutativ. Insbesondere ist <math>f(a)</math> normal und alle Elemente eines Funktionalkalküls kommutieren.
Der holomorphe Funktionalkalkül wird vom stetigen Funktionalkalkül in eindeutiger Weise {{#if:trim|fortgesetzt.<ref>Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-72475-1, S. 147.</ref>}} Daher stimmt für Polynome <math>p(z,\overline{z})</math> der stetige Funktionalkalkül mit dem natürlichen Funktionalkalkül für Polynome überein: <math display="inline">\Phi_a(p(z, \overline{z})) = p(a, a^*) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} a^k(a^*)^l</math> für alle <math display="inline">p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l</math> mit {{#if:trim|<math>c_{k,l} \in \C</math>.}}
Für eine Folge von Funktionen <math>f_n \in C(\sigma(a))</math>, die auf <math>\sigma(a)</math> gleichmäßig gegen eine Funktion <math>f \in C(\sigma(a))</math> konvergiert, konvergiert {{#if:trim|<math>f_n(a)</math> gegen <math>f(a)</math>.<ref>Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.</ref>}} Für eine Potenzreihe <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math>, die auf <math>\sigma(a)</math> absolut gleichmäßig konvergiert, gilt daher {{#if:trim|}}
Sind <math>f \in \mathcal{C}(\sigma(a))</math> und <math>g\in \mathcal{ C}(\sigma(f(a)))</math>, so gilt für deren Komposition {{#if:trim|}} Sind <math>a,b \in \mathcal{A}_N</math> zwei normale Elemente mit <math>f(a) = f(b)</math> und ist <math>g</math> sowohl auf <math>\sigma(a)</math> als auch <math>\sigma(b)</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math>, so ist bereits <math>a = b</math>, da {{#if:trim|}}
Es gilt der spektrale Abbildungssatz: <math>\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))</math> für alle {{#if:trim|<math>f \in C(\sigma(a))</math>.}}
Gilt <math>ab = ba</math> für <math>b \in \mathcal{A}</math>, so gilt auch <math>f(a)b = bf(a)</math> für alle <math>f \in C ( \sigma (a))</math>, das heißt wenn <math>b</math> mit <math>a</math> kommutiert, dann auch mit den zugehörigen Elementen des stetigen Funktionalkalküls {{#if:trim|<math>f(a)</math>.}}
Sei <math>\Psi \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math> ein unitärer *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren <math>\mathcal{A}</math> und {{#if:trim|<math>\mathcal{B}</math>.}} Dann kommutiert <math>\Psi</math> mit dem stetigen Funktionalkalkül. Es gilt: <math>\Psi(f(a)) = f(\Psi(a))</math> für alle {{#if:trim|<math>f \in C(\sigma(a))</math>.}} Insbesondere kommutiert der stetige Funktionalkalkül mit der Gelfand-Transformation.
Mit dem spektralen Abbildungssatz lassen sich Funktionen mit bestimmten Eigenschaften direkt mit bestimmten Eigenschaften von Elementen von C*-Algebren in Verbindung bringen:
- <math>f(a)</math> ist genau dann invertierbar, wenn <math>f</math> auf <math>\sigma(a)</math> keine Nullstelle {{#if:trim|hat.<ref>Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 332.</ref>}} Dann ist {{#if:trim|}}
- <math>f(a)</math> ist genau dann selbstadjungiert, wenn <math>f</math> reellwertig, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq \R</math> ist.
- <math>f(a)</math> ist genau dann positiv (<math>f(a) \geq 0</math>), wenn <math>f \geq 0</math>, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty )</math> ist.
- <math>f(a)</math> ist genau dann unitär, wenn alle Werte von <math>f</math> in der Kreisgruppe liegen, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \Complex \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}</math> ist.
- <math>f(a)</math> ist genau dann eine Projektion, wenn <math>f</math> nur die Werte <math>0</math> und <math>1</math> annimmt, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq \{ 0, 1 \}</math> ist.
Diese gehen auf Aussagen über das Spektrum bestimmter Elemente zurück, welche im Abschnitt Anwendungen dargestellt sind.
Im speziellen Fall, dass <math>\mathcal{A}</math> die C*-Algebra der beschränkten Operatoren <math>\mathcal{B}(H)</math> für einen Hilbertraum <math>H</math> ist, sind Eigenvektoren <math>v \in H</math> zum Eigenwert <math>\lambda \in \sigma(T)</math> eines normalen Operators <math>T \in \mathcal{B}(H)</math> auch Eigenvektoren zum Eigenwert <math>f(\lambda) \in \sigma(f(T))</math> des Operators {{#if:trim|<math>f(T)</math>.}} Gilt also <math>Tv = \lambda v</math>, so gilt auch <math>f(T)v = f(\lambda)v</math> für alle {{#if:trim|<math>f \in \sigma(T)</math>.<ref>Michael Reed, Barry Simon: Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222.</ref>}}
Anwendungen
Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls:
Spektrum
Sei <math>\mathcal{A}</math> eine C*-Algebra und <math>a \in \mathcal{A}_N</math> ein normales Element. Dann gilt für das Spektrum <math>\sigma(a)</math>:
- <math>a</math> ist genau dann selbstadjungiert, wenn {{#if:trim|<math>\sigma(a) \subseteq \R</math>.}}
- <math>a</math> ist genau dann unitär, wenn {{#if:trim| \lambda \right\}}
- <math>a</math> ist genau dann eine Projektion, wenn {{#if:trim|<math>\sigma(a) \subseteq \{ 0, 1 \}</math>.}}
Beweis. Der stetige Funktionalkalkül <math>\Phi_a</math> zum normalen Element <math>a \in \mathcal{A}</math> ist ein *-Homomorphismus mit <math>\Phi_a (\operatorname{Id}) = a</math> und somit ist <math>a</math> selbstadjungiert/unitär/eine Projektion, wenn <math>\operatorname{Id} \in C( \sigma(a))</math> ebenfalls selbstadjungiert/unitär/eine Projektion ist. Genau dann ist <math>\operatorname{Id}</math> selbstadjungiert, wenn <math>z = \text{Id}(z) = \overline{\text{Id}}(z) = \overline{z}</math> für alle <math>z \in \sigma(a)</math> gilt, also wenn <math>\sigma(a)</math> reell ist. Genau dann ist <math>\text{Id}</math> unitär, wenn <math>1 = \text{Id}(z) \overline{\operatorname{Id}}(z) = z \overline{z} = |z|^2</math> für alle <math>z \in \sigma(a)</math> gilt, also {{#if:trim|<math>\sigma(a) \subseteq \{ \lambda \in \Complex \ }} Genau dann ist <math>\text{Id}</math> eine Projektion, wenn <math>(\operatorname{Id}(z))^2 = \operatorname{Id}}(z) = \overline{\operatorname{Id}(z)</math>, d. h. <math>z^2 = z = \overline{z}</math> für alle <math>z \in \sigma(a)</math>, also {{#if:trim|<math>\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}</math>.}}
Wurzeln
Sei <math>a</math> ein positives Element einer C*-Algebra {{#if:trim|<math>\mathcal{A}</math>.}} Dann existiert für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ein eindeutig bestimmtes positives Element <math>b \in \mathcal{A}_+</math> mit <math>b^n =a</math>, das heißt eine eindeutige <math>n</math>-te Wurzel.
Beweis. Für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ist die Wurzelfunktion <math>f_n \colon \R_0^+ \to \R_0^+, x \mapsto \sqrt[n]x</math> eine stetige Funktion auf {{#if:trim|<math>\sigma (a) \subseteq \R_0^+</math>.}} Sei <math>b \; \colon = f_n (a)</math> mittels stetigem Funktionalkalkül definiert, dann folgt aus den Eigenschaften des Kalküls {{#if:trim|}} Aus dem spektralen Abbildungssatz folgt <math>\sigma(b) = \sigma(f_n(a)) = f_n(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty)</math>, das heißt <math>b</math> ist positiv. Sei <math>c \in \mathcal{A}_+</math> ein weiteres positives Element mit <math>c^n = a = b^n</math>, so gilt <math>c = f_n (c^n) = f_n(b^n) = b</math>, da die Wurzelfunktion auf den positiven reellen Zahlen eine Umkehrfunktion zur Funktion <math>z \mapsto z^n</math> ist.
Ist <math>a \in \mathcal{A}_{sa}</math> ein selbstadjungiertes Element, dann existiert zumindest für jedes ungerade <math>n \in \N</math> ein eindeutig bestimmtes selbstadjungiertes Element <math>b \in \mathcal{A}_{sa}</math> mit {{#if:trim|}}
Ebenso definiert für ein positives Element <math>a</math> einer C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> jedes <math>\alpha \geq 0</math> ein eindeutig bestimmtes positives Element <math>a^\alpha</math> von <math>C^*(a)</math>, sodass <math>a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}</math> für alle <math>\alpha, \beta \geq 0</math> gilt. Falls <math>a</math> invertierbar ist, lässt sich dies auch auf negative Werte von <math>\alpha</math> fortsetzen.
Betrag
Sei <math>a \in \mathcal{A}</math>, dann ist das Element <math>a^*a</math> positiv, sodass der Betrag durch den stetigen Funktionalkalkül definiert werden kann <math>|a| = \sqrt{a^*a}</math>, da dieser auf den positiven reellen Zahlen stetig {{#if:trim|ist.<ref>Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.</ref>}}
Sei <math>a</math> ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math>, dann existieren positive Elemente <math>a_+,a_- \in \mathcal{A}_+</math>, sodass <math>a = a_+ - a_-</math> mit <math>a_+ a_- = a_- a_+ = 0</math> gilt. Man bezeichnet <math>a_+</math> und <math>a_-</math> auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt {{#if:trim|<math>}}
Beweis. Die Funktionen <math>f_+(z) = \max(z,0)</math> und <math>f_-(z) = -\min(z,0)</math> sind stetige Funktionen auf <math>\sigma(a) \subseteq \R</math> mit <math>\operatorname{Id} (z) = z = f_+(z) -f_-(z)</math> und {{#if:trim|}} Setze <math>a_+ = f_+(a)</math> und {{#if:trim|}} Nach dem spektralen Abbildungssatz sind <math>a_+</math> und <math>a_-</math> positive Elemente und es gilt <math>a = \operatorname{Id}(a) = (f_+ - f_-) (a) = f_+(a) - f_-(a) = a_+ - a_-</math> und {{#if:trim|}} Weiterhin gilt <math display="inline">f_+(z) + f_-(z) = |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{z^2}</math>, sodass <math display="inline">a_+ + a_- = f_+(a) + f_-(a) = |a| = \sqrt{a^* a} = \sqrt{a^2}</math> gilt.
Unitäre Elemente
Ist <math>a</math> ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> mit Einselement <math>e</math>, so ist <math>u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}</math> unitär, wobei <math>\mathrm{i}</math> die imaginäre Einheit bezeichnet. Ist umgekehrt <math>u \in \mathcal{A}_U</math> ein unitäres Element, mit der Einschränkung, dass das Spektrum eine echte Teilmenge des Einheitskreises ist, also <math>\sigma(u) \subsetneq \mathbb{T}</math>, so existiert ein selbstadjungiertes Element <math>a \in \mathcal{A}_{sa}</math> mit {{#if:trim|}}
Beweis. Es ist <math>u = f(a)</math> mit <math>f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}</math>, denn da <math>a</math> selbstadjungiert ist, folgt <math>\sigma(a) \subset \R</math>, das heißt <math>f</math> ist eine Funktion auf dem Spektrum von {{#if:trim|<math>a</math>.}} Da <math>f\cdot \overline{f} = \overline{f}\cdot f = 1</math> folgt mittels Funktionalkalkül <math>uu^* = u^*u = e</math>, das heißt <math>u</math> ist unitär. Da für die andere Aussage ein <math>z_0 \in \mathbb{T}</math> existiert, sodass <math>\sigma(u) \subseteq \{ \mathrm{e}^{\mathrm{i} z} \mid z_0 \leq z \leq z_0 + 2 \pi \}</math> ist die Funktion <math>f(\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}) = z</math> für <math>z_0 \leq z \leq z_0 + 2 \pi</math> eine reellwertige stetige Funktion auf dem Spektrum <math>\sigma(u)</math>, sodass <math>a = f(u)</math> ein selbstadjungiertes Element ist, das <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} f(u)} = u</math> erfüllt.
Spektraler Zerlegungssatz
Sei <math>\mathcal{A}</math> eine unitäre C*-Algebra und <math>a \in \mathcal{A}_N</math> ein normales Element. Das Spektrum bestehe aus <math>n</math> paarweise disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>\sigma_k \subset \C</math> für alle <math>1 \leq k \leq n</math>, also {{#if:trim|}} Dann existieren Projektionen <math>p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{A}</math>, die für alle <math>1 \leq j,k \leq n</math> die folgenden Eigenschaften {{#if:trim|}}
- Für das Spektrum gilt {{#if:trim|}}
- Die Projektionen kommutieren mit {{#if:trim|}}
- Die Projektionen sind orthogonal, also {{#if:trim|}}
- Die Summe der Projektionen ist das Einselement, also {{#if:trim|}}
Insbesondere existiert eine Zerlegung <math display="inline">a = \sum_{k=1}^n a_k</math> für die <math>\sigma(a_k) = \sigma_k</math> für alle <math>1 \leq k \leq n</math> gilt.
Beweis.<ref name="kaballo" /> Da die <math>\sigma_k</math> alle abgeschlossen sind, sind die charakteristischen Funktionen <math>\chi_{\sigma_k}</math> stetig auf {{#if:trim|<math>\sigma(a)</math>.}} Sei nun <math>p_k := \chi_{\sigma_k} (a)</math> mithilfe des stetigen Funktionalkalküls definiert. Da die <math>\sigma_k</math> paarweise disjunkt sind gilt <math>\chi_{\sigma_j} \chi_{\sigma_k} = \delta_{jk} \chi_{\sigma_k}</math> und <math display="inline">\sum_{k=1}^n \chi_{\sigma_k} = \chi_{\cup_{k=1}^n \sigma_k} = \chi_{\sigma(a)} = \textbf{1}</math> und somit erfüllen die <math>p_k</math> die geforderten Eigenschaften, wie sich wiederum aus den Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls ergibt. Für die letzte Aussage setzt man {{#if:trim|}}
Literatur
- Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars, Paris, 1969.
- Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
- Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
- Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, Heidelberg/Berlin, 1979, ISBN 3-540-90391-7.
Einzelnachweise
<references />