Holomorpher Funktionalkalkül
Der holomorphe Funktionalkalkül ist eine grundlegende Methode aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Grob gesprochen werden bei diesem Funktionalkalkül Elemente einer <math>\Complex</math>-Banachalgebra in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums des Elementes definiert sind, eingesetzt, wodurch das Einsetzen in Polynome verallgemeinert wird.
Konstruktion
Es sei <math>A</math> eine <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra mit Einselement <math>e</math>. Ist <math>a\in A</math>, so ist das Spektrum <math>\sigma(a)</math> nicht-leer (siehe Satz von Gelfand-Mazur). Sei weiter <math>f:U\rightarrow {\mathbb C}</math> eine in einer offenen Umgebung <math>U</math> von <math>\sigma(a)</math> definierte holomorphe Funktion. Zwar lässt sich <math>a</math> nicht direkt in <math>f</math> einsetzen, aber die cauchysche Integralformel liefert eine Darstellung der Funktionswerte von <math>f</math>, bei der eine solche Einsetzung dennoch durchgeführt werden kann.
Es gibt einen Zyklus <math>\Gamma=\gamma_1 + \ldots + \gamma_n</math> einfach geschlossener Wege, die ganz in <math>U</math> verlaufen und das Spektrum einschließen. Die cauchysche Integralformel lautet <math>\textstyle f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta</math> für Punkte <math>z</math> innerhalb von <math>\Gamma</math>, und darin kann man tatsächlich das Banachalgebren-Element einsetzen. Man kann zeigen, dass das Integral
- <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} f(\zeta)(\zeta e - a)^{-1} d\zeta</math>
im Sinne der Normtopologie konvergiert. Da <math>\Gamma \cap \sigma(a) = \emptyset</math>, ist der Ausdruck <math>(\zeta e - a)^{-1}</math> im Integranden definiert und <math>\zeta \mapsto f(\zeta)(\zeta e - a)^{-1}</math> ist eine stetige Funktion <math>\Gamma\to A</math>. Weiter kann man zeigen, dass dieser Wert nicht von der speziellen Wahl von <math>\Gamma</math> abhängt. Daher bezeichnet man den Wert dieses Integrals in suggestiver Schreibweise mit <math>f(a)</math>.
Für ein Kompaktum <math>K</math> sei <math>{\mathcal H}(K)</math> die Menge der in einer Umgebung von <math>K</math> definierten holomorphen Funktionen. Sind <math>f</math> und <math>g</math> zwei solche Funktionen, so kann man <math>f\,+\,g</math> und <math>f\cdot g</math> auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche von <math>f</math> und <math>g</math> erklären. Damit wird <math>{\mathcal H}(K)</math> zu einer <math>{\mathbb C}</math>-Algebra. Mit obigen Definitionen erhalten wir damit eine Abbildung <math>\Phi_a:{\mathcal H}(\sigma(a))\rightarrow A,\,\, f\mapsto f(a)</math>. Diese Abbildung heißt der holomorphe Funktionalkalkül von a.
Die Forderung, dass <math>A</math> ein Einselement hat, ist keine wesentliche Einschränkung, denn man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und den Funktionalkalkül in der vergrößerten Banachalgebra anwenden.
Eigenschaften
Der holomorphe Funktionalkalkül <math>\Phi_a</math> zu einem Element <math>a\in A</math> hat folgende Eigenschaften.
- <math>\Phi_a:{\mathcal H}(\sigma(a))\rightarrow A</math> ist ein Homomorphismus, d. h. es gelten die Formeln <math>(f+g)(a)\,=\,f(a)+g(a)</math>, <math>(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)</math>.
- Hat <math>f\in {\mathcal H}(\sigma(a))</math> in einer Umgebung des Spektrums eine Potenzreihendarstellung <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_nz^n</math>, so gilt <math>f(a) = \sum_{n=0}^\infty \lambda_na^n</math> als absolut konvergente Reihe in <math>A</math>.
- Ist <math>f\in {\mathcal H}(\sigma(a))</math> und <math>g\in {\mathcal H}(\sigma(f(a)))</math>, so gilt <math>(g\circ f)(a) = g(f(a))</math>.
- Es gilt der spektrale Abbildungssatz: <math>\sigma(f(a)) \,=\, f(\sigma(a))</math> für alle <math>f\in {\mathcal H}(\sigma(a))</math>.
Man kann sich also vorstellen, die Banachalgebren-Elemente tatsächlich in holomorphe Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.
Anwendung
Als eine typische Anwendung des holomorphen Funktionalkalküls beweisen wir folgenden Satz:
Für eine <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra <math>A</math> mit Einselement <math>e</math> sind äquivalent:
- <math>A</math> besitzt Projektionen <math>p</math> mit <math>0 \not= p \not= e</math>.
- <math>A</math> besitzt Elemente mit unzusammenhängendem Spektrum.
Da <math>\sigma(p)=\{0,1\}</math> für eine Projektion <math>p</math> mit <math>0 \not= p \not= e</math> offensichtlich unzusammenhängend ist, muss nur gezeigt werden, dass es eine von 0 und <math>e</math> verschiedene Projektion gibt, wenn ein <math>a\in A</math> unzusammenhängendes Spektrum hat. Da <math>\sigma(a)</math> unzusammenhängend ist, gibt es offene Mengen <math>U</math> und <math>V</math> in <math>\mathbb C</math>, so dass <math>U\cap \sigma(a) \not= \emptyset</math>, <math>V\cap \sigma(a) \not= \emptyset</math>, <math>\sigma(a)\subset U\cup V</math> und <math>U\cap V = \emptyset</math>. Die Funktion <math>f</math>, die auf <math>U</math> gleich 1 und auf <math>V</math> gleich 0 ist, ist als lokal konstante Funktion holomorph, also ein Element aus <math>{\mathcal H}(\sigma(a))</math>. Dann gilt nach dem spektralen Abbildungssatz <math>\sigma(f(a))=f(\sigma(a)) =\{0,1\}</math> und daher <math>0 \not= f(a) \not= e</math>. Da <math>f = f\cdot f</math> folgt <math>f(a) = (f\cdot f)(a) = f(a)\cdot f(a)</math>. Daher ist <math>f(a)</math> eine Projektion der gesuchten Art.
Diese Aussage kann zum schilowschen Idempotentensatz verschärft werden, was den tiefer liegenden holomorphen Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher erfordert.
Literatur
- F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, Ch. 1, §7: "A Functional Calculus for a Single Banach Algebra Element"
- J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0-12-393301-3
- M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)