Satz von Gelfand-Mazur
Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass <math>\mathbb C</math> die einzige <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.
Lemma über das Spektrum
Sei <math>A</math> eine <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra mit Einselement <math>1</math>. Dann gibt es zu jedem <math>a\in A</math> ein <math>\lambda\in {\mathbb C}</math>, so dass <math>a-\lambda 1</math> nicht invertierbar ist.
Man nennt die Menge aller <math>\lambda \in {\mathbb C}</math>, für die <math>a-\lambda 1</math> nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von <math>a</math>. Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.
Beweis
Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):
Wir nehmen an, <math>a-\lambda 1</math> sei für jedes <math>\lambda \in {\mathbb C}</math> invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene <math>\lambda,\mu \in {\mathbb C}</math>
<math> (a-\lambda 1)^{-1}(\lambda-\mu)(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1}((a-\mu 1)-(a-\lambda 1))(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1} - (a-\mu 1)^{-1} </math>
Man wende nun ein beliebiges <math>f\in A'</math> an und teile obige Gleichung durch <math>\lambda-\mu</math>. Es folgt
<math> \frac{f((a-\lambda 1)^{-1}) - f((a-\mu 1)^{-1})}{\lambda-\mu} = f((a-\lambda 1)^{-1}(a-\mu 1)^{-1}) </math>.
Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für <math>\mu\rightarrow \lambda</math>, denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in <math>A</math> sind stetig und <math>f</math> ist stetig. Daher ist die Funktion <math>\lambda\mapsto f((a-\lambda 1)^{-1})</math> holomorph auf ganz <math>\mathbb C</math>. Sie verschwindet im Unendlichen, denn <math>\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \|(a-\lambda 1)^{-1}\| = 0</math> und <math>f</math> ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz <math>\mathbb C</math> gleich <math>0</math> sein. Da <math>f\in A'</math> beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass <math>(a-\lambda 1)^{-1}=0</math>, aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.
Satz von Gelfand-Mazur
Ist die <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra <math>A</math> ein Schiefkörper, so ist <math>A \cong {\mathbb C} </math>.
Ist nämlich <math>a\in A</math>, so gibt es nach obigem Lemma ein <math>\lambda\in{\mathbb C}</math>, so dass <math>a-\lambda 1</math> nicht invertierbar ist. Da <math>0</math> das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss <math>a=\lambda 1</math> sein. Also ist jedes Element von <math>A</math> ein <math>{\mathbb C}</math>-Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.
Folgerungen
Aus dem obigen Lemma folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra (im Spezialfall <math>A = \mathbb{C}^{n \times n}</math> besagt der Satz schließlich genau, dass jede Matrix einen Eigenwert hat) und erscheint als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur.
Aus dem Satz von Gelfand-Mazur folgt trivialerweise der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über archimedisch bewertete Körpererweiterungen von <math>\C</math>, da Absolutbeträge von Körpern zugleich Normen von Schiefkörpern sind.
Siehe auch
- Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper
- Fundamentalsatz der Algebra
- Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)
Quellen
- R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)