Schnittwinkel (Geometrie)
Ein Schnittwinkel ist in der Geometrie ein Winkel, in dem sich zwei geometrische Objekte schneiden. Dabei kann es sich um Geraden, Ebenen, Kurven oder Flächen handeln.
Beim Schnitt zweier Geraden entstehen im Allgemeinen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Als Schnittwinkel wird meist der kleinere dieser beiden kongruenten Winkel bezeichnet, der dann spitz- oder rechtwinklig ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Da Nebenwinkel sich zu 180° ergänzen, lässt sich der größere Schnittwinkel, der dann stumpf- oder rechtwinklig ist, aus diesem ermitteln. Ein besonderer Fall liegt vor, wenn sich die Geraden in einem rechten Winkel schneiden. Dann sind alle Winkel gleich groß und jeder kann als Schnittwinkel angesehen werden.
Zur Definition des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene oder zwischen zwei Ebenen werden bestimmte Geraden in der Ebene herausgegriffen, so dass man die Definition auf den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zurückführen kann. Rechnerisch erhält man diese Schnittwinkel über das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektoren.
Bei gekrümmten Objekten wie Kurven (insbesondere Funktionsgraphen) oder Flächen wird der Schnittwinkel erklärt als der Schnittwinkel, den die Tangenten oder Tangentialebenen im betrachteten Schnittpunkt bilden.
Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Der Schnittwinkel von linearen Objekten wie Geraden oder Ebenen lässt sich mit den Mitteln der analytischen Geometrie und linearen Algebra berechnen. Es können drei Fälle unterschieden werden: Der Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden, zwischen einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen.
Zwei Geraden
Liegen die beiden Geraden in Normalform vor, <math>y_1 = m_1 x + b_1 </math> und <math>y_2 = m_2 x + b_2</math>, so gilt für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen den beiden Geraden
- <math>\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1 \cdot m_2}\right|,</math>
falls <math>m_1 \cdot m_2 \neq -1 </math>. Dabei ist <math>\tan \alpha</math> der Tangens des Schnittwinkels und <math>|\cdot |</math> der Absolutbetrag. Hieraus kann man mithilfe des Arkustangens den Schnittwinkel bestimmen. Gilt <math>m_1 \cdot m_2 = -1</math>, so schneiden sich die beiden Geraden rechtwinklig. Diese Formel lässt sich nur für Geraden in der Ebene anwenden.
| Herleitung |
Die Steigungswinkel <math>\alpha_1, \alpha_2</math> und die Steigungen <math>m_1, m_2</math> der linearen Funktionen hängen über <math>\tan \alpha_1 = m_1</math> und <math>\tan \alpha_2 = m_2</math> miteinander zusammen. Aus den Steigungswinkeln kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> sofort berechnen als <math>|\alpha_1 - \alpha_2|</math> bzw. <math>180^\circ -|\alpha_1 - \alpha_2|</math>, je nachdem ob die Differenz der Steigungswinkel höchstens <math>90^\circ</math> oder größer als <math>90^\circ</math> ist. Für <math>|\alpha_1 - \alpha_2| < 90^\circ</math> folgt mit dem Additionstheorem für den Tangens
Für <math>|\alpha_1 - \alpha_2| > 90^\circ</math> erhält man unter Benutzung von <math>\tan(180^\circ - |\alpha_1 - \alpha_2|)=-\tan|\alpha_1 - \alpha_2|</math> dieselbe Formel. |
Zum Beispiel gilt für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden <math>y_1=2x-1</math> und <math>y_1=-0,6x+5</math> die Beziehung
- <math>\tan \alpha = \left|\frac{2-(-0{,}6)}{1+2\cdot(-0{,}6)}\right| = 13 </math>,
aus der man den Schnittwinkel <math>\alpha = \arctan 13 \approx 85{,}6^\circ </math> erhält.
Sind die Geraden in Parameterform gegeben, <math>g \colon \ \vec x = \vec p + t \vec a </math> und <math>h \colon \ \vec x = \vec q + s \vec b</math>, so gilt für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> die Beziehung
- <math>\cos \alpha = |\cos \varphi|=\frac{| \vec a \cdot \vec b |}{| \vec a | \, | \vec b |}</math>.
Dabei bezeichnen <math>|\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> jeweils die Längen der Vektoren, <math>\varphi</math> den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel und <math>\vec a \cdot \vec b</math> ihr Skalarprodukt. Hieraus kann man mithilfe des Arkuskosinus den Schnittwinkel bestimmen. Diese Formel lässt sich sowohl für Geraden in der Ebene als auch im euklidischen Raum anwenden.
| Herleitung |
Da die Neigung zweier Geraden zueinander von Parallelverschiebungen unberührt bleibt, genügt es, zwei sich schneidende Ursprungsgeraden <math>g \colon \vec x = s \vec a</math> und <math>h \colon \vec x = t \vec b</math> zu betrachten. Ist der von den Richtungsvektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> eingeschlossene Winkel <math>\varphi \leq 90^\circ</math>, so handelt es sich schon um den Schnittwinkel <math>\alpha</math> und aus der geometrischen Definition <math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b|\cos \varphi </math> des Skalarprodukts folgt sofort
Ist hingegen <math>\varphi > 90^\circ</math>, so ist der Nebenwinkel von <math>\varphi</math> der Schnittwinkel, d. h. es gilt <math>\alpha = 180^\circ - \varphi</math> und somit <math>\varphi = 180^\circ - \alpha</math>. Einsetzen in die geometrische Definition des Skalarprodukts und <math>\cos (180^\circ -\alpha)= -\cos \alpha</math> liefert
Da aber im ersten Fall <math>\vec a \cdot \vec b \geq 0 </math> und im zweiten Fall <math>\vec a \cdot \vec b <0</math> gilt, lassen sich die beiden Formeln mithilfe des Absolutbetrags zu der oben angegebenen Formel zusammenfassen. |
Zum Beispiel gilt für den Schnittwinkel zwischen den Raumgeraden mit den Richtungsvektoren <math>\vec a = (1, 4, 5)^T</math> und <math>\vec b = (2, 1, 3)^T</math> die Beziehung
- <math>\cos \alpha = \frac{| 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 3 |}{\sqrt{1^2+4^2+5^2} \, \sqrt{2^2+1^2+3^2}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}.</math>
Hieraus erhält man den Schnittwinkel <math display="inline">\alpha = \arccos\frac{3}{2\sqrt{3}} = 30^\circ</math>.
Eine Gerade und eine Ebene
Unter dem Schnittwinkel einer Geraden <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> versteht man den Winkel <math>\alpha</math> zwischen <math>g</math> und derjenigen Geraden <math>h</math> in <math>E</math>, die von allen in <math>E</math> liegenden Geraden den kleinsten Winkel mit <math>g</math> einschließt. Bei dieser Geraden <math>h</math> handelt es sich um die Orthogonalprojektion von <math>g</math> auf <math>E</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ergänzt sich mit dem Winkel <math>\beta</math> zwischen <math>g</math> und einer zu <math>E</math> senkrechten Gerade zu <math>90^\circ</math>. Falls <math>\vec n</math> ein Normalenvektor von <math>E</math> (und somit Richtungsvektor einer zu <math>E</math> senkrechten Geraden) ist und <math>\vec a</math> Richtungsvektor von <math>g</math> ist, so gilt nach der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden <math display="inline">\cos \beta = | \vec n \cdot \vec x |/(| \vec n | \, | \vec x |) . </math> Da sich die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zu <math>90^\circ</math> ergänzen und <math>\cos (90^\circ - \alpha)=\sin \alpha</math>, erhält man die folgende Formel für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> einer Geraden mit Richtungsvektor <math>\vec a</math> und einer Ebene mit Normalenvektor <math>\vec n</math>:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>\sin \alpha = \frac{| \vec n \cdot \vec a |}{| \vec n | \, | \vec a |} .</math>
Beispiel
Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden <math>g</math> und der Ebenen <math>E</math> mit
- <math>g \colon \ \vec x = (2,2,1) + t (1,-1,1)\quad</math> und <math>\quad E \colon \ \vec x = (1,1,5) + r (2,0,1) + s (-1,-1,3). </math>
Einen Normalenvektor von <math>E</math> liefert das Kreuzprodukt <math>(2,0,1)\times (-1,-1,3) = (1,-7,-2)</math>. Für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen <math>g</math> und <math>E</math> gilt damit
- <math>\sin \alpha = \frac{|6|}{\sqrt{54}\,\sqrt{3}} \approx 0{,}471</math> und hieraus folgt <math>\alpha \approx 61{,}9^\circ</math>.
Zwei Ebenen
Unter dem Schnittwinkel <math>\alpha</math> zweier sich schneidender Ebenen <math>E_1</math> und <math>E_2</math> versteht man den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden <math>g_1</math> und <math>g_2</math>, die in <math>E_1</math> und <math>E_2</math> liegen und auf der Schnittgeraden senkrecht stehen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Sind <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> Normalenvektoren der Ebenen <math>E_1</math> und <math>E_2</math>, so steht <math>\vec n_1</math>auf <math>E_1</math> und daher auf <math>g_1</math> senkrecht. Ebenso ist <math>\vec n_2</math> senkrecht zu <math>E_2</math> und somit zu <math>g_2</math>. Der Winkel zwischen den Normalenvektoren <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> ist deshalb gleich dem Winkel <math>\alpha</math> (siehe Abbildung) zwischen den beiden Ebenen oder ergänzt sich mit diesem zu <math>180^\circ</math> (falls der Winkel zwischen <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> größer als <math>90^\circ</math> ist). In beiden Fällen lässt sich der Schnittwinkel der beiden Ebenen als Winkel zweier auf diesen Ebenen senkrecht stehenden Geraden mit <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> als Richtungsvektoren berechnen. Nach der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden in Parameterform gilt somit für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zweier sich schneidender Ebenen mit Normalenvektoren <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> die folgende Beziehung:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":0" />
- <math>\cos \alpha = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1 |\, |\vec n_2|}.</math>
Beispiel
Es soll der Schnittwinkel der Ebenen <math>E_1 \colon \ -4x +y +2z=10</math> und <math>E_2 \colon \ 3x +2y + 2z = 2 </math> berechnet werden. Zwei Normalenvektoren erhält man aus den Koeffizienten der Koordinatengleichungen: <math>\vec n_1 = (4,1,2) </math> und <math>\vec n_2 =(3,-2,1)</math>. Für den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der beiden Ebenen gilt daher
- <math>\cos \alpha = \frac{|-6|}{\sqrt{21}\, \sqrt{17}} \approx 0{,}318</math> und somit <math>\alpha \approx 71{,}5^\circ.</math>
Schnittwinkel von Kurven und Flächen
In der Analysis und Differentialgeometrie wird das Konzept des Schnittwinkels auf gekrümmte Objekte wie Kurven oder Flächen ausgeweitet. Dabei werden die Schnittpunkte zwischen Kurven oder Flächen auf Schnittpunkte zwischen Geraden oder Ebenen zurückgeführt, indem in den entsprechenden Definitionen Geraden durch Tangenten, Richtungsvektoren durch Tangentialvektoren und Ebenen durch Tangentialebenen ersetzt werden.
Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen
Der Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier differenzierbaren Funktionen, die sich in einem Punkt <math>(x_S, y_S)</math> schneiden, ist definiert als der Schnittwinkel, den ihre Tangenten in <math>(x_S, y_S)</math> bilden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Tangentensteigungen im Schnittpunkt betragen aber <math>f'(x_S)</math> und <math>g'(x_S)</math>; wendet man die Formel für den Schnittwinkel zweier linearer Funktionen auf die Tangenten an, so erhält man für<math>f'(x_S) \cdot g'(x_S) \neq -1 </math> die Beziehung
- <math>\tan \alpha = \left|\frac{f'(x_S) - g'(x_S)}{1+f'(x_S) \cdot g'(x_S) }\right|</math> .
Für <math>f'(x_S) \cdot g'(x_S) = -1</math> hingegen beträgt der Schnittwinkel <math>90^\circ</math>.
Beispiele
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion schneiden sich an der Stelle <math>x_S=\pi/4</math>. Für den zugehörigen Schnittwinkel gilt
- <math>\tan \alpha = \left|\frac{\sin'(\pi/4) - \cos'(\pi/4)}{1+\sin'(\pi/4) \cdot \cos'(\pi/4)}\right| = \left|\frac{1/\sqrt 2 - \left(-1/\sqrt 2\right)}{1+\left(1/\sqrt 2\right)\cdot \left(-1/\sqrt 2\right)}\right| = 2 \sqrt 2</math>.
Hieraus erhält man <math>\alpha = \arctan (2 \sqrt 2) \approx 70{,}53^\circ </math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Schnittwinkel zweier Kurven
Schneiden sich zwei differenzierbare Kurven in einem Punkt, so ist der Schnittwinkel der beiden Kurven in diesem Punkt definiert als Schnittwinkel ihrer Tangenten oder (äquivalent dazu) ihrer Tangentialvektoren in diesem Punkt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Beispiel
Um den Schnittwinkel zwischen der Gerade <math>\sqrt{3}x - y = 1</math> und dem Einheitskreis <math>x^2 + y^2 = 1</math> im Schnittpunkt <math>(\sqrt 3/2, 1/2)</math> zu berechnen ermittelt man die beiden Tangentialvektoren in diesem Punkt als <math>\vec a = (1, \sqrt3)</math> und <math>\vec b = (-1/2,\sqrt 3/2)</math> und damit
- <math>\cos \alpha = \frac{\left| 1 \cdot (-\tfrac{1}{2}) + \sqrt3 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right|}{\sqrt{1+3} \, \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34}} = \frac12 \quad \Rightarrow \alpha = \arccos\frac12 = 60^\circ</math>.
Schnittwinkel einer Kurve mit einer Fläche
Schneiden sich eine differenzierbaren Kurve und einer differenzierbaren Fläche in einem Punkt, so ist der Schnittwinkel der Kurve und der Fläche in diesem Punkt definiert als Schnittwinkel des Tangentialvektors <math>\vec a</math> der Kurve mit dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Fläche an diesem Punkt. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und dessen Orthogonalprojektion auf die Tangentialebene der Fläche.
Schnittwinkel zweier Flächen
Schneiden sich zwei differenzierbare Flächen in einer Schnittkurve, so lässt sich der Schnittwinkel für jeden Punkt der Schnittkurve definieren als Schnittwinkel der Normalenvektoren <math>\vec{n}</math> und <math>\vec{m}</math> der Flächen an den betrachteten Punkt. Im Gegensatz zum Schnittpunkt von Ebenen hängt der Schnittwinkel dabei im Allgemeinen vom Punkt auf der Schnittkurve ab.
Siehe auch
Literatur
- Rolf Baumann: Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung. Mentor 1999, ISBN 3-580-63636-7, S. 76–77.
- Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2413-6, S. 53–54 und S. 159–161.
- Schnittwinkel. In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 361–362.
- Helmut Albrecht: Elementare Koordinatengeometrie (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Springer Spektrum, 2020, ISBN 978-3-662-61619-2, S. 58–60.
- Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. Volk und Wissen, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 186–189.
Weblinks
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Einzelnachweise
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