Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},\mu)</math> ein Maßraum. Ist <math>(f_n)_{n\in\N}</math> eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen <math>f_n\colon\Omega\to[0,\infty]</math>, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion <math>f\colon\Omega\to[0,\infty]</math> konvergiert, so gilt

<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ \mathrm d\mu.</math>

Variante für fallende Folgen

Ist <math>(f_n)_{n\in\N}</math> eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen <math>f_n\colon\Omega\to[0,\infty]</math> mit <math>\int_\Omega f_1\ \mathrm d\mu < \infty</math>, die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion <math>f\colon\Omega\to[0,\infty]</math> konvergiert, so gilt ebenso

<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\ \mathrm d\mu.</math>

Beweisidee

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei <math>(\Omega,\mathcal{A},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(X_n)_{n\in\N}</math> eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

<math>\lim_{n\to\infty}\operatorname{E}(X_n)=\operatorname{E}\left(\lim_{n\to\infty} X_n\right)</math>.<ref>Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2001, ISBN 978-3-519-02395-1. Seiten 116 bis 118</ref>

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist <math>\mathcal{G}\subset\mathcal{A}</math> eine Teil-<math>\sigma</math>-Algebra und <math>\lim_{n\to\infty} X_n</math> integrierbar, so gilt fast sicher

<math>\lim_{n\to\infty}\operatorname{E}(X_n \mid \mathcal{G})=\operatorname{E}\left(\lim_{n\to\infty} X_n \mid \mathcal{G}\right).</math>

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen

Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},\mu)</math> wieder ein Maßraum. Für jede Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> nichtnegativer, messbarer Funktionen <math>f_n \colon \Omega\to[0,\infty]</math> gilt

<math>\int_\Omega \sum_{n=1}^\infty f_n \ \mathrm d\mu =\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega f_n \ \mathrm d\mu.</math>

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge <math>\textstyle s_N = \sum_{n=1}^N f_n</math> der Partialsummen. Da die <math>f_n</math> nichtnegativ sind, ist <math>(s_N)_{N \in \N}</math> monoton wachsend.

Siehe auch

Literatur

Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.

Einzelnachweise