Lemma von Fatou
Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.
Mathematische Formulierung
Sei <math>(S,\Sigma,\mu)</math> ein Maßraum. Für jede Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> nichtnegativer, messbarer Funktionen <math>f_n\colon S\to\R\cup\{\infty\}</math> gilt
- <math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,</math>
wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> punktweise zu verstehen ist.
Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion <math>g</math> mit <math>f_n \le g</math> gibt:
- <math>\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \ge \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu</math>.
Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel
- <math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
\le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu \leq \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu \leq \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \leq \int_S g \ \mathrm{d}\mu.</math>
Beweisidee
Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge
- <math> g_n := \inf_{k\geq n}f_k \nearrow \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n</math>
den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung
- <math>\int_S\left(\inf_{k\geq n}f_k\right) \le \int_S f_n</math>
erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:
- <math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S \left(\inf_{k\geq n}f_k\right) \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n</math>.
Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist <math>g_1 = \sup_{k\geq 1}f_k \le g</math> mit <math>g</math> integrierbar, also ist <math>g_1</math> integrierbar.
Beispiele für strikte Ungleichung
Der Grundraum <math>S</math> sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.
- Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei <math>S=[0,1]</math> das Einheitsintervall. Definiere <math>f_n(x)=n\mathbf{1}_{(0,\frac1n)}(x)</math> für alle <math>n\in\N</math> und <math>x\in S</math>, wobei <math>\mathbf{1}_{(0,\frac1n)}</math> die Indikatorfunktion des Intervalls <math>(0,\tfrac1n)</math> bezeichne.
- Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei <math>S</math> die Menge der reellen Zahlen. Definiere <math>f_n(x)=\tfrac1n \mathbf{1}_{[0,n]}(x)</math> für alle <math>n\in\N</math> und <math>x\in S</math>. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)
Jedes <math>f_n</math> hat Integral eins,
- <math>\int_S f_n \ \mathrm{d}\mu=1</math>
deshalb gilt
- <math>1
=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu =\liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu =\limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu</math> Die Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> konvergiert auf <math>S</math> punktweise gegen die Nullfunktion
- <math>0
=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n =\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n =\limsup_{n\rightarrow\infty} f_n,</math> daher ist das Integral ebenfalls Null
- <math>0=\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
= \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu,</math> daher gelten hier die strikten Ungleichungen
- <math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,</math>
- <math>\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu</math>
Diskussion der Voraussetzungen
Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei <math>S</math> das halboffene Intervall <math>[0, \infty)</math> mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle <math>n \in \N</math> definiere <math>f_n(x):=-\tfrac{1}{n} \mathfrak{1}_{[0,n]}(x)</math>. Die Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> konvergiert auf <math>S</math> (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes <math>f_n</math> hat aber Integral −1. Daher ist
- <math>0 = \int_S \lim_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu > \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \mathrm{d}\mu = -1 </math>.
Siehe auch
Literatur
- Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis. (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
- Walter Rudin: Analysis. Deutsche Ausgabe neu bearbeitet von Norbert Herrmann. 2., korrigierte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-25810-9, S. 376: Kapitel 11, Satz 11.31.