Satz von Kronecker über Reihenkonvergenz

Der Satz von Kronecker über Reihenkonvergenz ist ein Lehrsatz der Analysis. Er wurde von Leopold Kronecker (1823–1891) im Jahre 1886 vorgestellt<ref>Kronecker: Quelques remarques sur la détermination des Valeurs moyennes. In: Comptes rendus. Band 103, 1886, S. 980 ff. </ref><ref>Kronecker: Quelques remarques sur la détermination des Valeurs moyennes. In: Leopold Kronecker’s Werke. Band V, 1930, S. 301 ff. (archive.org). </ref> und gibt ein Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen an.<ref name="Knopp">Knopp: S. 131, 151.</ref>

Formulierung des Satzes

Für jede Folge <math> (a_n)_{n \in {\N_0}}</math> von reellen Zahlen gilt:

Es ist notwendig und hinreichend für die Konvergenz der Reihe

<math>\sum_{n=0}^\infty {a_n}</math>,

dass für jede Folge <math> (p_n)_{n \in {\N_0}}</math> von positiven reellen Zahlen, welche monoton gegen <math> + \infty </math> ansteigt, die abgeleitete Quotientenfolge

<math>q_n = \frac{p_0 \cdot a_0 + p_1 \cdot a_1 + \cdots + p_n \cdot a_n }{p_n}</math>

eine Nullfolge darstellt.<ref name="Knopp" />

Folgerungen

Der obige Satz zieht unmittelbar die folgende Aussage nach sich, welche auch unter dem Namen Lemma von Kronecker zitiert wird:<ref>Schmidt: S. 345.</ref>

Für eine Folge <math> (a_n)_{n \in {\N}}</math> von reellen Zahlen mit der Eigenschaft, dass

<math>\sum_{n=1}^\infty { \frac{a_n }{n} }</math>

konvergiert, gilt stets

<math>\lim_{n\to\infty} { \frac{1}{n} \cdot ( a_1 + \cdots + a_n ) } = 0</math>.

Aus dem Lemma von Kronecker ergibt sich mit der Setzung <math>a_n = 1</math> für <math>n \in {\N}</math> unmittelbar, dass die harmonische Reihe divergent sein muss.

Nicht zuletzt liefert das Lemma von Kronecker das entscheidende Argument im Beweis des Kolmogoroff’schen Gesetzes der großen Zahlen.<ref>Halmos: S. 202–204.</ref><ref>Schmidt: S. 345–346.</ref>

Literatur

Originalarbeiten

Kurt Hensel (Hrsg.): Leopold Kronecker’s Werke. Herausgegeben auf Veranlassung der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften von K. Hensel. Nachdruck der Ausgabe Leipzig 1930 Auflage. Band 5. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1968.

Leopold Kronecker: Quelques remarques sur la détermination des Valeurs moyennes. In: Comptes rendus de séances de l'Académie des Sciences de Paris. 1886, S. 980–987.

Monographien

Paul R. Halmos: Measure Theory. Reprint of the edition published by Van Nostrand Auflage. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1974, ISBN 0-387-90088-8.
Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5., berichtigte Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1964, ISBN 3-540-03138-3.
Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.

Einzelnachweise