Kroneckersches Lemma

Das Kroneckersche Lemma handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Es ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker.

Lemma

Sei <math>(a_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> eine Folge reeller Zahlen.

Sei <math>(b_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> eine monotone, unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen.

Falls <math>\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{b_k}</math> konvergiert, so folgt <math>\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n}a_k \to 0</math>.

Obiges Lemma vereinfacht sich beim Setzen von <math>b_k=k</math> für alle <math>k\in\mathbb{N}</math> zu folgender Aussage:

Sei <math>(a_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> eine Folge reeller Zahlen.

Falls <math>\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k}</math> konvergiert, so folgt <math>\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k \to 0</math>.

Das Kroneckersche Lemma kann man zum Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwenden.

Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 978-3-519-12395-8. Seiten 190 und 194
Acta Mathematica Hungarica, Volume 44, Numbers 1–2, März 1984, Seiten 143 und 144