Quotientenmodul
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul <math>M</math> und einem Untermodul <math>N\subseteq M</math> ist der Quotientenmodul <math>M/N</math> das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus <math>M\to M/N</math> mit Kern <math>N</math>.
Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.
Definition
Es sei <math>A</math> ein Ring. Zu einem <math>A</math>-(Links-)Modul <math>M</math> und einem Untermodul <math>N\subseteq M</math> ist der Quotientenmodul <math>M/N</math> die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von <math>M</math> nach der Äquivalenzrelation
- <math>m_1\equiv m_2\mod N\iff m_1-m_2\in N</math>
mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung <math>M\to M/N</math> ein Homomorphismus ist:<ref>Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 5.1: Linksmoduln</ref>
- <math>a\cdot (m+N)=am+N, \quad m\in M, a\in A</math>
- <math>(m_1+N)+(m_2+N) = (m_1+m_2)+N, \quad m_1,m_2 \in M.</math>
Eigenschaften
- Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln <math>M,N</math> eines Moduls <math>Q</math> gilt<ref>Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.7</ref>
- <math>M/(M\cap N)\cong(M+N)/N.</math>
- Für Untermoduln <math>N\subseteq Q\subseteq P</math> gilt<ref>Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.8</ref>
- <math>(P/N)/(Q/N)\cong P/Q.</math>
- Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel <math>M</math> und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle <math>M</math>; einem Monomorphismus <math>i\colon N\to M</math> entspricht der Quotientenmodul <math>M/i(N)</math>, einem Epimorphismus <math>p\colon M\to Q</math> der Untermodul <math>\ker p</math>.
- Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
- Ist <math>B</math> eine (unitäre, assoziative) <math>A</math>-Algebra, so ist
- <math>B\otimes_A(M/N)\cong(B\otimes_AM)/U;</math>
- dabei steht <math>U</math> für das Bild von <math>B\otimes_AN</math> in <math>B\otimes_AM</math>.
- Ist <math>I</math> ein (zweiseitiges) Ideal in <math>A</math>, so ist der Faktormodul <math>A/I</math> dasselbe wie der Faktorring <math>A/I</math>.
Einzelnachweise
<references />