Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei <math>M</math> ein Modul über einem Ring <math>A</math>. Die Länge von <math>M</math> ist das Supremum der Längen <math>n</math> von Ketten von Untermoduln der Form<ref>Siegfried Bosch: Algebra, 6. Auflage 2006, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 72.</ref>

<math>0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq N_2\subsetneq\dotsb\subsetneq N_n=M.</math>

Die Länge wird oft mit <math>\ell _A(M)</math> oder <math>\ell (M)</math> bezeichnet.

Eigenschaften

Nur der Nullmodul hat Länge 0.
Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

exakt, so ist <math>\ell(M)=\ell(M')+\ell(M)</math>; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele

Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
Der <math>\Z</math>-Modul <math>\Z</math> hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl <math>n</math> ist

<math>0\subset 2^n\Z\subset 2^{n-1}\Z\subset\dotsb\subset\Z</math>

eine Kette von Untermoduln der Länge <math>n+1</math>.

Literatur

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Einzelnachweise