Punkt des gleichen Umwegs

}</math>

Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck <math>ABC</math>. Dieser Punkt <math>P</math> ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von <math>A</math> über <math>P</math> nach <math>B</math> ebenso groß ist wie der Umweg von <math>A</math> über <math>P</math> nach <math>C</math> und der Umweg von <math>B</math> über <math>P</math> nach <math>C</math>. Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:<ref name="etc">Isoperimetric point and equal detour point in der Encyclopedia of Triangle Centers (abgerufen am 7. Februar) </ref>

<math>

\begin{align}

 &|AP|+|PC|-|AC| \\
=&|AP|+|PB|-|AB| \\
=&|BP|+|PC|-|BC|

\end{align} </math>.

Eindeutigkeit

Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel <math>\alpha,\beta,\gamma </math> des Dreiecks <math>ABC</math> die folgende Ungleichung erfüllt ist:<ref>M. Hajja, P. Yff: The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle. In: Journal of Geometry, November 2007, Band 87, Heft 1–2, S. 76–82, {{#invoke:Vorlage:Handle|f|scheme=doi|class=plainlinks|parProblem=Problem|errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:DOI|errClasses=error editoronly|errHide=1|errNS=0 4 10 100}} </ref>

<math>\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)+\tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)\leq 2 </math>.

Ist die Ungleichung nicht erfüllt, so besitzt auch der isoperimetrische Punkt die Eigenschaft des gleichen Umwegs.

Eigenschaften

Der Punkt des gleichen Umwegs ist harmonisch verwandt mit dem isoperimetrischen Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Gergonne-Punkt und kollinear zu diesen drei Punkten.<ref name="Dergiades">N. Dergiades: The Soddy circles. In: Forum Geometricorum, Band 7, S. 191–197, 2007 </ref>
Die Umwege sind gleich dem Durchmesser des inneren Soddy-Kreises.<ref name="Dergiades"/>
Die baryzentrischen Koordinaten sind:

<math>\left( a+\frac{\Delta}{s-a} : b+\frac{\Delta}{s-b} : c+\frac{\Delta}{s-c} \right)</math>.

Hierbei steht <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt und <math>s</math> für den halben Umfang des Dreiecks <math>ABC</math>.<ref name="Dergiades"/>

Die trilinearen Koordinaten sind:<ref name="etc"/>

<math>\left(\sec\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) + 1 :

\sec\left(\frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 1 : \sec\left(\frac{\gamma}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + 1 \right) </math>.

Weblinks

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Vorlage:Wikidata-Registrierung

isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf Geogebratube

Einzelnachweise