Isoperimetrischer Punkt
Der isoperimetrische Punkt ist ein ausgezeichneter Punkt in einem Dreieck ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen Umfang haben. Der isoperimetrische Punkt hat die Kimberling-Nummer X(175).
Eigenschaften
- Der isoperimetrische Punkt ist harmonisch verwandt zum Punkt des gleichen Umwegs in Bezug auf den Inkreismittelpunkt und den Gergonne-Punkt und somit kollinear zu diesen drei Punkten.
- Die Umfänge von PBC, PCA und PAB betragen <math>\tfrac{2\triangle}{\left\vert 4R+r-(a+b+c) \right\vert}</math> und sind gleich dem Durchmesser des äußeren Soddy-Kreises.
- Der isoperimetrische Punkt existiert genau dann, wenn der Umfang von ABC größer ist als <math>4R+r</math>, wobei <math>R</math> der Radius des Umkreises und <math>r</math> der Radius des Inkreises ist.
- In einem rechtwinkligen Dreieck existiert der isoperimetrische Punkt immer und ist er besonders einfach zu finden. Der Radius des äußeren Soddy-Kreises ist in dem Fall gleich dem Halbumfang.
Koordinaten
| Isoperimetrischer Punkt (<math>X_{175}</math>) | |
|---|---|
| Trilineare Koordinaten | <math>\left(\sec\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}-1\right)
|
| Baryzentrische Koordinaten | <math>\left(a-\frac{\Delta}{s-a}\right) : \left(b-\frac{\Delta}{s-b}\right) : \left(c-
\frac{\Delta}{s-c}\right)</math> |
Hierbei steht <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt und <math>s</math> für den halben Umfang von ABC.
Literatur
- G. R. Veldkamp: The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle. In: The American Mathematical Monthly, Band 92, Nr. 8, Okt. 1985, S. 546–558 ({{#invoke:JSTOR|f|1=2323159}}{{#if:
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}})
Weblinks
- Isoperimetrisch punt (niederländisch)
- C. Kimberling: Isoperimetric Point And Equal Detour Point
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Isoperimetric Point. In: MathWorld (englisch). {{#if: IsoperimetricPoint | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | IsoperimetricPoint | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf GeoGebratube