Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.<ref>L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung <math>(x)_n</math> für den Binomialkoeffizienten, <math>[x]_n</math> für die fallende Faktorielle und <math>[x]_n^+</math> für die steigende Faktorielle.</ref><ref>Eric W. Weisstein: Pochhammer Symbol. In: MathWorld. Abgerufen am 9. Februar 2019 (). </ref>

Die Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols nennt man verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.

Definition

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

<math>(x,n) \equiv \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}</math>

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

<math>(x,n) \equiv x (x+1) \dotsm (x+n-1)</math>.

Man hat also eine Identität

<math>(x,n)=x^{\overline{n}}</math>

mit der steigenden Faktoriellen.

Erläuterungen

Das Pochhammer-Symbol wird auch als <math>(x)_n</math> notiert, allerdings notieren manche Autoren insbesondere in der Kombinatorik damit auch die fallende Faktorielle. In dieser Notation definiert man dann zusätzlich

<math>(x_1,\dots,x_r)_n:=\prod\limits_{i=1}^r (x_i)_n.</math>

Eigenschaften

Datei:Pochhammer.svg

Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole

• Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion.
• Ist <math>n \in \mathbb{N}</math>, so kann <math>(x,n)</math> als Polynom in <math>x</math> dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei <math>x=0</math>.
• Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen:

<math>(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}</math>

• Divisionsregel:
  • <math>\frac{(x,n)}{(x,m)} = (x+m,n-m) ;\quad n>m</math>
  • <math>\frac{(x,n)}{(x,m)} = \frac{1}{(x+m,m-n)} ;\quad m>n</math>
• Spezielle Werte:
  • <math>(1,n) = n!</math>
  • <math>(\tfrac{1}{2},n) = 2^{-n} (2n-1)!!</math>
  • <math>(0,0) = 1</math>
• Weitere Identitäten:
  • <math>(x,N-k)=\frac{(x,N)(-1)^k}{(-x-N+1,k)}</math>
  • <math>(x,m)(x+m,n)=(x,m+n)</math>

q-Pochhammer-Symbol

Begrenztes q-Pochhammer-Symbol

Das <math>q</math>-Pochhammer-Symbol<ref>Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. In: MathWorld. Abgerufen am 9. Februar 2019 (). </ref> ist das <math>q</math>-Analog des Pochhammer-Symbols. Dieses spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen und in der Kombinatorik bei <math>q</math>-Analoga klassischer Formeln. Hierbei wird das <math>q</math>-Analogon natürlicher Zahlen, angeregt durch den Grenzübergang

<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n</math>,

über folgende Formel definiert:

<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \dotsb + q^{n - 1}</math>

Das <math>q</math>-Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen <math>q</math> definiert:

<math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\dotsm(1-aq^{n-1})</math>

mit der Zusatzbedingung:

<math>(a;q)_0 = 1</math>.

Sie werden auch <math>q</math>-Reihen genannt und <math>(a;q)_n </math> als <math> (a)_n</math> abgekürzt, z. B. <math>(q;q)_n= (q)_n = \prod_{k=1}^{n} (1-q^k)=(1-q)(1-q^2)\dotsm(1-q^n)</math>.

Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.

Unendliches q-Pochhammer-Symbol

Das <math>q</math>-Pochhammer-Symbol lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

<math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)</math>

Der Spezialfall

<math>\phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>

wird als Eulersches Produkt<ref>Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function, doch ist dieser Begriff mehrdeutig.</ref> bezeichnet.

Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:

<math>[q(\varepsilon);q(\varepsilon)]_{\infty} = 2^{1/3}|\varepsilon|^{1/12} (1 - \varepsilon^2)^{1/6} q(\varepsilon)^{-1/24}\pi^{-1/2}K(\varepsilon)^{1/2} </math>

<math>[q(\varepsilon)^2;q(\varepsilon)^2]_{\infty} = |\sin[2\arcsin(\varepsilon)]|^{1/6} q(\varepsilon)^{-1/12}\pi^{-1/2}K(\varepsilon)^{1/2} </math>

<math>[q(\varepsilon);q(\varepsilon)^2]_{\infty} = 2^{1/4}|\cot[2\arctan(\varepsilon)]|^{1/12}q(\varepsilon)^{1/24} </math>

<math>q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] </math>

<math>K(w) = \int_{0}^{\pi/2} [1 - w^2 \sin(\alpha)^2]^{-1/2} \,\mathrm{d}\alpha </math>

Partitionszahlenfolge und Pentagonalzahlensatz

Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der Partitionsfunktion eine entscheidende Rolle.

Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen<ref>3.3 Partitions of Integers. Abgerufen am 30. August 2021. </ref> als Koeffizienten:

<math>(x;x)_{\infty}^{-1} = \sum_{k = 0}^{\infty} P(k)x^{k}</math>

Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:

<math>(x;x)_{\infty} = \sum_{k = 0}^{\infty} \bigl[x^{K(2k)} - x^{F(2k+1)} - x^{K(2k+1)} + x^{F(2k+2)}\bigr]</math>

Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:

<math>F(n) = \tfrac{1}{2}n(3n-1)</math>

<math>K(n) = \tfrac{1}{2}n(3n+1)</math>

Diese Tatsache<ref>Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. Abgerufen am 30. August 2021 (). </ref> basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.

Thetafunktion und Psifunktion

Das Eulersche Produkt<ref>Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. Abgerufen am 30. August 2021 (). </ref> kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion und der Ramanujanschen Psifunktion ausgedrückt werden:

<math>(x;x)_{\infty} = \vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{2/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{1/24} = \sqrt[6]{\psi_{R}(x^2)\vartheta_{00}(x)\vartheta_{01}(x)^4}</math>

Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:

<math>(x;x)_{\infty} = 3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta_{10}(\tfrac{1}{6}\pi;x^{1/6}) = 2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta_{10}(x)^{1/6}\vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{2/3}</math>

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung<ref>Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. Abgerufen am 30. August 2021 (). </ref> zu den Thetafunktionen:

<math>(x;x^2)_{\infty} = \sqrt[6]{\psi_{R}(x^2)^{-1}\vartheta_{00}(x)^{-1}\vartheta_{01}(x)^2} = 2^{1/6}x^{1/24}\vartheta_{10}(x)^{-1/6}\vartheta_{00}(x)^{-1/6}\vartheta_{01}(x)^{1/3} </math>

Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π. Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:

<math>(x;x)_{\infty}(x;x^2)_{\infty} = \vartheta_{01}(x)</math>

Für die Thetafunktionen dienen diese Formeln zur Definition:

<math>\vartheta_{01}(x) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl[x^{\Box(2n - 1)} - x^{\Box(2n)}\bigr] = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^2 </math>

<math>\vartheta_{00}(x) = 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} x^{\Box(n)} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^2 </math>

<math>\vartheta_{10}(x) = 2x^{1/4} + 2x^{1/4}\sum_{n = 1}^{\infty} x^{2\bigtriangleup(n)} = 2x^{1/4}\prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1+x^{2n})^2 </math>

Die Ramanujansche Ψ-Funktion <math>\psi_{R}(x)</math> ist über jene Formel definiert:

<math>\psi_{R}(x) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} x^{\bigtriangleup(n)}</math>

Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:

<math>R(x) = x^{1/5}\biggl[1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2\bigtriangleup(n)}}{(x;x)_{n}}\biggr]\biggl[1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{\Box(n)}}{(x;x)_{n}}\biggr]^{-1} = x^{1/5}\frac{(x;x^5)_{\infty}(x^4;x^5)_{\infty}}{(x^2;x^5)_{\infty}(x^3;x^5)_{\infty}} = </math>

<math>= \tan\biggl\langle\frac{1}{2}\arccot\biggl\{\frac{\vartheta_{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta_{01}(x^5)^2 - \vartheta_{01}(x)^2]}{2\,\vartheta_{01}(x^5)[\vartheta_{01}(x)^2 - \vartheta_{01}(x^{1/5})^2]} + \frac{1}{2}\biggr\}\biggr\rangle =</math>

<math>= \tan\biggl\langle\frac{1}{2}\arccot\biggl\{\frac{1}{2}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x^{1/10})\vartheta_{01}(x^{1/10})\vartheta_{10}(x^{1/10})}{\vartheta_{00}(x^{5/2})\vartheta_{01}(x^{5/2})\vartheta_{10}(x^{5/2})}\biggr]^{1/3}+\frac{1}{2}\biggr\}\biggr\rangle =</math>

<math>= \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x)^2}{2\vartheta_{01}(x^5)^2}\biggr]\biggr\}^{1/5}\tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x)^2}{2\vartheta_{01}(x^5)^2}\biggr]\biggr\}^{2/5} =</math>

<math>= \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x^{1/2})^2}{2\vartheta_{01}(x^{5/2})^2}\biggr]\biggr\}^{2/5}\cot\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{1}{2} - \frac{\vartheta_{01}(x^{1/2})^2}{2\vartheta_{01}(x^{5/2})^2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>

In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen verwendet:

<math>\bigtriangleup(n) = \tfrac{1}{2}n(n+1)</math>

<math>\Box\,(n) = n^2</math>

Einzelnachweise

<references />