Fünfeckszahl
Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die <math>n</math>-te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit <math>n</math> regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben.
Für eine figural gleichmäßige Bedeckung siehe →Zentrierte Fünfeckszahl.
Die ersten (nicht zentrierten) Fünfeckszahlen sind
Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.
Die <math>n</math>-te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel
- <math>\frac{n(3n-1)}2</math>
berechnen.
Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.
Fünfeckszahlen der zweiten Art
Setzt man für <math>n</math> eine negative ganze Zahl ein, so bekommt man Fünfeckszahlen zweiter Art oder auch Kartenhauszahlen. Kartenhauszahlen deswegen, weil die Zahlen angeben, wie viele Karten benötigt werden, um ein Kartenhaus mit <math>n</math> Etagen zu bauen.
- <math>\frac{n(3n-1)}2 = \frac{m(3m+1)}2</math> für <math>m = -1\cdot n</math> und <math>n \le 0</math>
Die Folge der Kartenhauszahlen beginnt: <math>0, 2, 7, 15, 26, 40, 57, \dots</math> (Folge A005449 in OEIS)
Die Kartenhauszahlen lassen sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:
| Datei:Dreieckssumme kh.PNG |
| Kartenhauszahlen als Summe von Dreieckszahlen |
- <math>2\cdot \frac{m(m+1)}{2} + \frac{(m-1)m}{2} = \frac{m(3m+1)}2</math>