Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahl von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

<math>\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi =

\underbrace{ \left( \frac{(\vec p- q \vec A)^2}{2\, m} + q \,\phi \right)}_{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi - g\,\underbrace{\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec{ \sigma}}{2} \cdot \vec B}_{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi\,</math>

Hier bezeichnet

<math> \varphi=\begin{pmatrix}\varphi_\uparrow(t,\vec{x})\\ \varphi_\downarrow(t,\vec{x})\end{pmatrix}</math> die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
<math> p^i=-\mathrm i \hbar \partial_{x^i}\,,i\in\{1,2,3\}\,, </math> die <math>i</math>-te Komponente des Impulsoperators,
<math> \, q </math> die elektrische Ladung und <math> \, m </math> die Masse des Teilchens,
<math> \, \phi </math> das skalare elektrische Potential und <math> \vec A </math> das magnetische Vektorpotential,
<math> \, g </math> den gyromagnetischen Faktor,
<math> \vec{\sigma}</math> die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator <math> \vec{S}=\hbar\,\frac{\vec{ \sigma}}{2}</math>),
<math> \vec B=\text{rot}\,\vec{A} </math> das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld <math>\vec{B}</math> koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor <math>g</math> stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls <math>\vec{L}\,,</math>

<math>\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi =

\frac{\vec p^2}{2\, m} \varphi - \frac{q }{2\,m}\,\bigl(\vec L + g \,\vec S\bigr) \cdot \vec B\,\varphi\,.</math>

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert <math>g=2</math> für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden<ref>Walter Greiner: Quantenmechanik. Einführung. Band 4, ISBN 3-8171-1765-5.</ref>. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

<math>\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi_2\\ \vec{\sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi_1\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) + m\,c^2\, \left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\-\varphi_2\end{array} \right)

</math> mit <math>\vec \pi = \vec p - q\, \vec A </math>

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruheenergie herrührt,

<math>\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{array} \right) = \mathrm e^{-\mathrm i \frac{\displaystyle m\,c^2\,t}{\displaystyle \hbar}} \left( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right)</math>

die Zeitableitung der Zweierspinoren <math>\varphi</math> und <math>\chi</math> klein ist.

<math>

\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\cdot \vec \pi \,\chi\\ \vec{\sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\-2\,m\,c^2\, \chi \end{array} \right) </math>

In der Zeile <math>\partial_t \chi</math> ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie <math>m\,c^2\,.</math> Daher ist <math>\chi</math> klein gegen <math>\varphi</math> und ungefähr gleich

<math>\chi \approx \frac{\vec \sigma \cdot \vec{\pi}\,\varphi}{2\,m\,c}\,.</math>

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

<math>

\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{(\vec \sigma\cdot \vec \pi)^2}{2\,m} \,\varphi +q\, \phi\, \varphi\,. </math> Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

<math>(\vec \sigma\cdot \vec \pi)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j=

(\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j= \vec{\pi}^2 -q\, \hbar\, \vec \sigma \cdot \vec B \,.</math> Der Spinor <math>\varphi</math> genügt daher der Pauli-Gleichung mit <math>g=2</math>,

<math>

\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec \pi ^{\,2}}{2\,m} \,\varphi + q\,\phi\,\varphi -\frac{q\,\hbar}{2\,m}\,\vec{\sigma}\cdot\vec{B}\,\varphi\,. </math>

Im homogenen Magnetfeld gilt <math>\phi=0\,,\,\vec{A}=\frac{1}{2}\,\vec B \times\vec{x}\,,</math> und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

<math>(\vec p-q \vec A)^2 = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec{x}\times\vec p\cdot \vec{B} = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec L\cdot\vec B\,, </math>

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in <math>\vec{B}</math> sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

<math>

\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec p^{\,2}}{2\,m} \,\varphi -\frac{q}{2\,m}\,(\vec{L} + g\, \vec{S} )\cdot\vec{B}\,\varphi\,. </math> Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls <math>\vec{L}</math> und trägt nicht nur <math>-\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B </math> zur Energie bei. Der Faktor <math>\frac{q\,\hbar }{2\,m}</math> wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist <math>\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B</math> ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke <math>|\vec{B}|\,.</math> Dagegen ergibt <math>\frac{\vec S}{\hbar}\cdot\vec B</math> ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Literatur

Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I). 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (Springer-Lehrbuch).
Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (Springer-Lehrbuch).
Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantum Mechanics. Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (A Wiley-Interscience Publication).

Einzelnachweise