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Linearisierung

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Bei der Linearisierung – ein Begriff aus der Mathematik – werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenähert. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist.

Tangente

Datei:Tangenten.png
Tangenten an <math>f(x) = \sin(x)</math>:
blau <math>x_0 = 0,</math>
grün <math>x_0 = \tfrac{3 \cdot \pi}4</math>

Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion (Punktsteigungsform der Geraden)

<math>y_t = f(x_0) + \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} \bigg| _{x_{0}} \cdot (x-x_0)</math>

approximiert die Originalfunktion um den Punkt <math>x_0</math>. Dabei ist <math>\tfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} \bigg| _{x_{0}}</math> der Anstieg im Punkt <math>x_0</math>.

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

<math>F(x)=\bigg| \frac{f(x)-y_t(x)}{f(x)} \bigg|</math>

Für die Funktion <math>f(x)=\sin (x)</math> gilt beispielsweise:

<math>y(x)=\sin (x_0) + \cos (x_0) \cdot (x-x_0)</math>

Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Gliedes als ersten Teil des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion.

Anwendungen

Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Systeme durch lineare Systeme.

Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem. Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein lineares Gleichungssystem überführt werden. Nicht die einzige, aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt (kurz „AP“). Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Linearisierung der Multiplikation

In einem Signalflussplan lassen sich komplexe Systeme durch ein Blockbild darstellen, das zur qualitativen Visualisierung von mathematischen Modellen dient.

Datei:Linearisierung multiply.svg
Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition <math>\Delta y = \Delta x_1 \cdot x_{2,\text{AP}} + \Delta x_2 \cdot x_{1,\text{AP}}</math>
(Arbeitspunkte <math>x_{1,\text{AP}}</math>, <math>x_{2,\text{AP}}</math> und <math>y_\text{AP}</math> wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)

Befindet sich in diesem Signalflussplan eine Multiplikationsstelle, so lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln.

Im Folgenden bezeichnen wir mit <math>y</math> das Produkt zweier Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>:

<math>y = x_1 \cdot x_2</math>

Im Arbeitspunkt können wir die Multiplikation linearisieren, indem wir <math>x_1</math> als Summe des Arbeitspunkts und der Differenz <math>\Delta x_1=x_1-x_{1,\text{AP}}</math> schreiben:

<math>y = ( x_{1,\text{AP}} + \Delta x_1 ) \cdot ( x_{2,\text{AP}} + \Delta x_2 )</math>

Wir können dieses Produkt nach dem Distributivgesetz ausmultiplizieren. Es ergibt sich die Summe:

<math>y = x_{1,\text{AP}} \cdot x_{2,\text{AP}} + x_{1,\text{AP}} \cdot \Delta x_2 + x_{2,\text{AP}} \cdot \Delta x_1 + \Delta x_1 \cdot \Delta x_2</math>

Wir nehmen nun an, dass das Verhältnis der Abweichungen vom Arbeitspunkt <math>\Delta x_i</math> und dem Arbeitspunkt selber klein ist:

<math>\frac{\Delta x_i}{x_{i,\text{AP}}}\ll x_{i,\text{AP}}</math> und somit auch das Produkt <math>e_y = \Delta x_1 \cdot \Delta x_2</math> klein ist. Die linearisierte Multiplikation lautet also:

<math>y \approx x_{1,\text{AP}} \cdot x_{2,\text{AP}} + x_{1,\text{AP}} \cdot \Delta x_2 + x_{2,\text{AP}} \cdot \Delta x_1</math>

Beispiel

Wähle die Zahlen:

<math>x_1=2{,}4;\ x_2=110 \Rightarrow y = x_1 \cdot x_2 = 264.</math>

Nun stellt sich, die Frage, wie die Arbeitspunkte zu wählen sind. Um die Rechnung zu vereinfachen, runden wir <math>2{,}4</math> auf <math>2</math> ab und <math>110</math> auf <math>100</math> ab: Wähle also: <math>x_{1,\text{AP}} = 2;\ x_{2,\text{AP}} = 100 \Rightarrow \Delta x_1 = 0{,}4;\ \Delta x_2 = 10.</math> Das linearisierte Produkt ist also

<math>\Rightarrow y \approx 2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 100 \cdot 0{,}4 = 260 </math>

mit dem Fehler <math>e_y = 0{,}4 \cdot 10 = 4</math>.

Linearisierung der Division

Datei:Signalflussplan division.svg
Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan

Wir betrachten nun den Quotienten <math>y </math> zweier Zahlen <math>x_1 </math> und <math>x_2 </math>:

<math>y=\frac{x_1}{x_2}</math>

Analog wie zur Multiplikation entwickeln wir <math>x_i=x_{i,\text{AP}}+\Delta x_i </math> um den Arbeitspunkt <math>x_\text{AP} </math>. Damit können wir den Quotienten wie folgt schreiben:

<math>y=\frac{x_{1,\text{AP}}+\Delta x_1}{x_{2,\text{AP}}+\Delta x_2}</math>

Ausklammern der Arbeitspunkte liefert für Division:

<math>y=\frac{x_{1,\text{AP}} }{x_{2,\text{AP}} }\cdot \frac{1+\frac{\Delta x_1 }{ x_{1,\text{AP}}} }{ 1+\frac{ \Delta x_2 }{ x_{2,\text{AP}}} }</math>

Wir wollen nun den Zähler und den Nenner des Bruches linearisieren. Dazu verwenden wir die geometrische Reihe. Für eine Nullfolge <math>q^k </math> gilt:

<math>\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>

Hierbei ist entsprechend <math>q=-\tfrac{ \Delta x_2 }{ x_{2,\text{AP}}}</math> mit <math>\vert q \vert \ll 1</math> zu wählen.

Einsetzen liefert die Linearisierung

<math>\frac{1}{1+\frac{\Delta x_2}{x_{2,\text{AP}}} }\approx 1-\frac{\Delta x_2}{x_{2,\text{AP}}}</math>

Analog lässt sich der Nenner des obigen Bruchs linearisieren. Die linearisierte Division lässt sich schreiben durch:

<math>y\approx \frac{x_{1,\text{AP}}}{x_{2,\text{AP}}} \cdot \left(1+\frac{\Delta x_1}{x_{1,\text{AP}}}-\frac{\Delta x_2}{x_{2,\text{AP}}}\right)</math>

Linearisieren gewöhnlicher Differentialgleichungen

Ein bekanntes Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung ist das Pendel. Die Gleichung lautet:

<math>\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\sin(y(t))=0</math>

Der nichtlineare Teil ist <math>\sin(y)</math>. Dieser wird für kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt <math>y_0</math> approximiert durch:

<math>\sin (y) \approx \sin (y_0) + \cos (y_0) \cdot (y-y_0)</math>

Mit dem Arbeitspunkt <math>y_0=0</math> gilt:

<math>\sin(y) \approx y</math> und damit die linearisierte Differenzialgleichung
<math>\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\cdot y(t)=0</math>.

Diese linearisierten Differentialgleichungen sind meist deutlich einfacher zu lösen. Für ein mathematisches Pendel (wähle <math>D=0 </math>) lässt sich die Gleichung durch einfache Exponentialfunktionen lösen, wobei die nicht-linearisierte nicht analytisch lösbar ist. Weitere Details über das Linearisieren von Differentialgleichungen sind in dem Artikel über die Zustandsraumdarstellung beschrieben.

Tangentialebene

Datei:Linear tanget.svg
Darstellung als Signalflussplan

Soll eine gegebene Funktion <math>f(x_1, x_2)</math> in einem Punkt <math>x_{10}, x_{20}</math> linearisiert werden, wird sich der Taylor-Formel bedient. Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt.

Für die Funktion <math>f(x_1, x_2)</math> gilt in der Umgebung des Punktes <math>x_{10}, x_{20}</math>:

<math>y = \underbrace{f(x_{10}, x_{20})}_{=\text{const.}}+\underbrace {\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_1-x_{10})+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}</math>

Beispiel:

<math>f(x_1, x_2)=x_1 \cdot x_2</math>

ergibt die Tangentialebene

<math>y=\underbrace{x_{10}\cdot x_{20}}_{=\text{const.}} + \underbrace{x_{20}\cdot(x_1-x_{10})+x_{10}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}</math>

Weblinks

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