{{#if: behandelt die Taylorformel, also die Darstellung von Funktionen durch ein endliches Taylorpolynom und ein Restglied. Für die Darstellung von Funktionen durch den Grenzwert der Taylorpolynome siehe Taylorreihe.
Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome,<ref>Brook Taylor: Methodus Incrementorum Directa et Inversa. Pearson, London 1717, S. 21.</ref> anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur-, Sozial- und Naturwissenschaften geworden. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze. Die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion.
Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe (Taylor-Entwicklung).
Motivation
Annäherung durch Tangente
Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion <math>f</math> an einer Stelle <math>a</math> durch eine Gerade, also durch ein Polynom 1. Grades, ist gegeben durch die Tangente mit der Gleichung
<math>T_1 f(x; a) = f(a) + f'(a)(x-a)</math>.
Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle <math>x=a</math> die Funktionswerte und die Werte der 1. Ableitung (= Steigung) von <math>f(x)</math> und <math>T_1 f(x; a)</math> übereinstimmen: <math>f(a) = T_1 f(a; a), f'(a) = T_1' f(a; a)</math>.
Wenn man den Rest <math>R_1 f(x; a) := f(x) - T_1 f(x; a)</math> definiert, so gilt <math>f(x) = T_1 f(x; a) + R_1 f(x; a)</math>. Die Funktion <math>T_1 f(x; a)</math> approximiert <math>f</math> in der Nähe der Stelle <math>x=a</math> in dem Sinne, dass für den Rest gilt
Man kann vermuten, dass man für zweimal differenzierbares <math>f</math> eine noch bessere Näherung erhält, wenn man dazu ein quadratisches Polynom <math>T_2 f(x; a)</math> verwendet, von dem man verlangt, dass zusätzlich noch <math>T_2 f(a; a) = f(a)</math> gilt. Der Ansatz <math>T_2 f(x; a) = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2</math> führt durch Berechnung der Ableitungen auf <math>a_0 = f(a), a_1 = f'(a)</math> und <math>a_2 = \frac{1}{2} f(a)</math>, also
<math>T_2 f(x; a) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f(a)(x-a)^2</math>.
Diese Näherungsfunktion bezeichnet man auch als Schmiegparabel.
Man definiert nun dazu den passenden Rest <math>R_2 f(x; a) := f(x) - T_2 f(x; a)</math>, sodass wieder <math>f(x) = T_2 f(x; a) + R_2 f(x; a)</math>. Dann erhält man, dass die Schmiegparabel die gegebene Funktion bei <math>x=a</math> in der Tat besser approximiert, da nun (mit der Regel von de L’Hospital):
Ist <math>f</math> <math>n</math>-mal differenzierbar, so folgt sofort aus der obigen Betrachtung, dass
<math>f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = T_n f(x; a) + o(|x - a|^n), \quad x\rightarrow a,</math>
wobei <math>o</math> für die Landau-Notation steht. Diese Formel nennt man „qualitative Taylorformel“.
Ist <math>f</math> sogar <math>(n+1)</math>-mal stetig differenzierbar, so lässt sich <math>R_n f(x; a)</math> mithilfe des Lagrange-Restglieds (siehe unten) gegen <math>|x-a|^{n+1}</math> abschätzen, und man erhält die Darstellung
<math>f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = T_n f(x; a) + \mathcal{O}(|x - a|^{n+1}), \quad x\rightarrow a,</math>
wobei <math>\mathcal{O}</math> wiederum für die entsprechende Landau-Notation steht. Diese Formel wird ebenfalls „qualitative Taylorformel“ genannt.
Aus beiden Darstellungen folgt: Je näher <math>x</math> bei <math>a</math> liegt, desto besser approximiert also <math>T_n f(x; a)</math> (das sog. Taylorpolynom, siehe unten) an der Stelle <math>x</math> die Funktion <math>f</math>.
Definitionen und Satz
Im Folgenden wird die Taylor-Formel mit Integralrestglied vorgestellt. Die Taylor-Formel existiert auch in Varianten mit anderem Restglied; diese Formeln folgen jedoch aus der Taylor-Formel mit Integralrestglied. Sie stehen unten im Abschnitt Restgliedformeln.
Sei <math>I \subset \R</math> ein Intervall und <math>f\colon I\to\R</math> eine <math>(n + 1)</math>-mal stetig differenzierbareFunktion. In den folgenden Formeln stehen <math> f', f, \dots, f^{(k)} </math> für die erste, zweite, …, <math>k</math>-te Ableitung der Funktion <math>f</math>.
Taylorpolynom
Das <math>n</math>-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle <math>a \in I</math> ist definiert durch:
= & f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{align}</math>
Damit gehört es zu den Potenzreihen.
Integralrestglied
Das <math>n</math>-te Integralrestglied ist definiert durch:
<math>R_{n} f(x; a) = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \,\mathrm{d}t</math>
Satz (Taylorformel mit Integralrestglied)
Für alle <math>a</math> und <math>x</math> aus <math>I</math> gilt:
Der Beweis der Taylor-Formel mit Integralrestglied erfolgt durch vollständige Induktion über <math>n</math>.
Der Induktionsanfang <math>n=0</math> entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Analysis, angewendet auf die einmal stetig differenzierbare Funktion <math>f</math>:
Der Induktionsschritt <math>n \rightarrow n+1</math> (es ist zu zeigen, dass die Formel stets auch für <math>n+1</math> gilt, falls sie für ein <math>n</math> gilt) erfolgt durch partielle Integration. Für <math>(n+2)</math>-mal stetig differenzierbares <math>f</math> ergibt sich:
<math>T_{n+1} f(x; a) + R_{n+1} f(x; a) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a) = f(x)</math>.
Restgliedformeln
Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes.
Schlömilch-Restglied und dessen Herleitung
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ergibt sich für jede natürliche Zahl <math>p</math> mit <math>1\le p\le n+1</math>, dass es ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math> gibt, sodass:
für ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math>.
Spezialfälle des Schlömilch-Restglieds
Ein Spezialfall, nämlich der mit <math>p=1</math>, ist die Form nach Cauchy:
<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a)</math>
für ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math>.
Im Spezialfall <math>p = n+1</math> erhalten wir das Lagrangesche Restglied:
<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
für ein <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math>. Bei dieser Darstellung braucht die <math>(n+1)</math>-te Ableitung von <math>f</math> nicht stetig zu sein.
Peano-Restglied
Mit der Taylorformel mit Lagrange-Restglied erhält man für <math>n</math>-mal stetig differenzierbares <math>f</math> außerdem:
<math>f(x) = T_{n-1} f(x; a) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n = T_n f(x; a) + \frac{f^{(n)}(\xi) - f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math>
<math>R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{n!}(1-\Theta)^{n}(x-a)^{n+1}</math>
jeweils für ein <math>\Theta</math> zwischen 0 und 1.
Restgliedabschätzung
Liegt das Intervall <math>(a-r,a+r)</math> in <math>I</math> (der Definitionsbereich von <math>f</math>), kann man mit dem Restglied von Lagrange (siehe im Abschnitt Restgliedformeln) für alle <math>x \in (a - r, a + r)</math> und wegen <math>\xi</math> zwischen <math>a</math> und <math>x</math> (und somit auch <math>\xi \in (a - r, a + r)</math>) folgende Abschätzung herleiten:
<math>|R_{n} f(x; a)| = \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right| \le \sup_{\xi \in (a - r, a + r)} \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right|</math>
Gilt <math>|f^{(n+1)}(x)| \le M_n</math> für alle <math>x \in (a-r,a+r)</math>, so gilt daher für das Restglied die Abschätzung
Restgliedabschätzungen sind nicht auf den „reellen Fall“ beschränkt. Ist <math>D \subseteq \mathbb{K}</math> (mit <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math>) konvex (für <math>\mathbb{K} = \R</math> zum Beispiel ein Intervall und für <math>\mathbb{K} = \C</math> ein konvexes Gebiet) mit <math>a \in D</math>, so existiert für jede <math>n</math>-mal stetig differenzierbare Abbildung <math>f \colon D \to \C</math> ein stetiges Restglied <math>R_n(f,a) \colon D \to \C</math>, sodass<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. Dritte Auflage. Birkhäuser, S. 354.</ref>
Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt am Beispiel Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).
Für <math>f(x) = \sin(x)</math> gilt <math>f'(x) = \cos (x),\, f(x) = -\sin(x),\, f(x) = -\cos(x), f'(x) = \sin (x)</math>, also lautet das 4. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0
Aus <math>f^{(5)}(x) = \cos(x)</math> ergibt sich für das Restglied von Lagrange <math>R_4 \sin(x; 0) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!} x^5 = \frac{\cos(\xi)}{120}x^5</math> mit <math>\xi</math> zwischen 0 und <math>x</math>. Wegen <math>|{\cos(\xi)}| \leq 1</math> folgt die Restgliedabschätzung <math>|T_4\sin(x; 0)-\sin(x)| \leq \frac{|x|^5}{120}</math>.
Liegt <math>x</math> zwischen <math>-\frac{\pi}{4}</math> und <math>\frac{\pi}{4}</math>, dann liegt die relative Abweichung <math>\left|\frac{T_4 \sin(x; 0)-\sin(x)}{\sin(x)}\right|</math> von <math>T_3 \sin(x; 0)</math> zu <math>\sin(x)</math> bei unter 0,5 %.
Tatsächlich genügt für die Annäherung des Sinus auf diese Genauigkeit sogar schon das Taylorpolynom 3. Ordnung, da <math>f'(0) = 0</math> für <math>f(x) = \sin(x)</math>, und daher <math>T_3 \sin(x; 0) = T_4 \sin(x; 0)</math>. Daraus ergibt sich auch folgende weitere Abschätzung für drittes und viertes Taylorpolynom, die bei sehr großen x genauer ist:
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome des Sinus um Entwicklungsstelle 0 für <math>n =1, 3, 5, 15</math>. Der Graph zu <math>n = \infty</math> gehört zur Taylorreihe, die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.
Liegt x zwischen <math>-\frac{\pi}{4}</math> und <math>\frac{\pi}{4}</math>, dann liegt die relative Abweichung <math>\left|\frac{T_4\cos(x; 0)-\cos(x)}{\cos(x)}\right|</math> bei unter 0,05 %.
Auch für Kotangens und Tangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist
mit einer relativen Abweichung von unter 0,5 % für <math>\left|x\right| < \frac{\pi}{4}</math>, und <math>\cot(x) \sim 1/t(x)</math> mit derselben relativen Abweichung (dabei ist <math>t</math> kein Taylorpolynom des Tangens).
Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren.
Taylor-Formel im Mehrdimensionalen
{{#invoke:Vorlage:Siehe auch|f}}
Sei nun im Folgenden <math>f \colon \R^d \to \R</math> eine <math>n+1</math>-mal stetig differenzierbare Funktion und <math>x = (x_1, \ldots, x_d), a = (a_1, \ldots, a_d) \in \R^d</math>. Sei ferner <math>F \colon \R \to \R</math>, <math>F(t) = f(a + th)</math>, wobei <math>h = x - a</math>.
Sei ferner wie in der Multiindex-Notation <math>D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_d^{\alpha_d}}</math>. Im folgenden Abschnitt wird die Multiindex-Notation verwendet, damit man sofort sieht, dass der mehrdimensionale Fall für <math>d=1</math> tatsächlich dieselben Formeln ergibt wie der eindimensionale Fall.
Stellt man <math>F</math> im Punkt 1 durch ein Taylorpolynom mit Entwicklungsstelle 0 dar, so erhält man durch diese Formel die Definition des mehrdimensionalen Taylorpolynoms von <math>f</math> an der Entwicklungsstelle <math>a</math>:
Hierbei wurde verwendet, dass <math>\left(\begin{matrix}n \\ \alpha\end{matrix}\right) \cdot \frac{1}{n!} = \frac{1}{\alpha!}</math>.
Schmiegquadrik
Das zweite Taylorpolynom einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als:
<math>T_2 f(x; a) = f(a) + \nabla f(a)^\mathrm{T} (x - a) + \frac{1}{2} (x - a)^\mathrm{T} \operatorname{H}_f(a) (x - a)</math>
Dabei ist <math>\nabla f(a)</math> der Gradient und <math>\operatorname{H}_f(a)</math> die Hesse-Matrix von <math>f</math> jeweils an der Stelle <math>a</math>.
Das zweite Taylorpolynom nennt man auch Schmiegquadrik.
Mehrdimensionales Integralrestglied
Ebenso definiert man das mehrdimensionale Restglied mithilfe der Multiindex-Notation:
Aus der eindimensionalen Taylor-Formel folgt, dass
<math>F(1) = T_n F(1; 0) + R_n F(1; 0)</math>
Nach der obigen Definition von <math>F(t)</math> erhält man daher:
<math>f(x) = T_n f(x; a) + R_n f(x; a)</math>
Mehrdimensionale Restgliedformeln
Man kann auch die eindimensionalen Nicht-Integral-Restgliedformeln mithilfe der Formel für <math>F^{(n)}(t)</math> für den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern.
wobei im vorletzten Schritt die Dreiecksungleichung und <math>|x_i - a_i| \le \|x - a\|</math> angewendet wurde. Im letzten Schritt wurden die Ableitungen <math>D^{\alpha} f</math> durch ihr Supremum in einer (offenen) Umgebung <math>U(a) \subset \R^d</math> von <math>a</math> (z. B. <math>U(a) = B_{r}(a) </math> als <math>d </math>-dimensionale Kugel um <math>a </math> mit Radius <math>r</math>) abgeschätzt und die nur von <math>n </math> (und der Dimension <math>d </math>) abhängige Konstante <math display="inline">C_{n} := \sum_{\left|\alpha\right| = n+1} 1/ \alpha! </math> definiert. Vor allem für beschränkte Umgebungen <math>U(a) </math> gilt
da <math>\overline{U(a)}</math> kompakt und die Ableitungen <math>D^{\alpha} f</math> für <math>\left|\alpha\right| = n + 1 </math> nach Voraussetzung in <math>\overline{U(a)}</math> stetig sind.
Auf analoge Weise erhält man für den Fehler des <math>(n+1)</math>-ten Taylorpolynoms
<math>\begin{align}
\left| R_{n+1}f(x;a) \right|
=& \left|f(x) - T_{n+1} f(x; a) \right| \\
=& \left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{(x - a)^\alpha D^\alpha f(a + \theta h)}{\alpha!} - \sum_{|\alpha| = n+1} \frac{(x-a)^{\alpha} D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right| \\
\le & \|x - a\|^{n+1} \cdot \underbrace{\left| \sum_{|\alpha| = n + 1} \frac{D^\alpha f(a + \theta h) - D^{\alpha}f(a)}{\alpha!} \right|}_{\to 0\text{, } x \to a}
\end{align}</math>
Der letzte Teil geht gegen null, da die partiellen Ableitungen vom Grad <math>n+1</math> nach Voraussetzung alle stetig sind und <math>a + \theta h</math> sich zwischen <math>x</math> und <math>a</math> befindet und somit auch nach <math>a</math> konvergiert, falls <math>x \to a</math>.
Aus den beiden Abschätzungen folgt die sogenannte „(mehrdimensionale) qualitative Taylorformel“:
<math>f(x) = T_{n} f(x; a) + \mathcal{O}(\|x - a\|^{n+1}) = T_{n+1} f(x; a) + \mathcal{o}(\|x - a\|^{n+1})</math>
für <math>x \to a</math>, wobei die Landau-Notation <math>\mathcal{O}</math> bzw. <math>\mathcal{o}</math> verwendet wurde, um den Fehler <math>R_{n}f(x;a)</math> bzw. <math>R_{n+1}f(x;a)</math> gemäß den obigen Abschätzungen darzustellen.<ref>Königsberger: Analysis. Band 2. 2000, S. 66.</ref>
In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden, d. h., man will ein Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen, also die sog. Schmiegquadrik. Es gilt also <math>n=2</math>. Wegen <math>|\alpha| \le n</math> müssen, gemäß der Multiindexschreibweise, die Tupel <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(2,0)</math>, <math>(1,1)</math> und <math>(0,2)</math> berücksichtigt werden. Dabei gilt wegen des Satzes von Schwarz, dass
Mit überraschend wenig Aufwand lässt sich die Taylor-Formel noch weiter verallgemeinern: Seien <math> X,Y, </math> Banachräume, <math>U \subseteq X</math> offen und nichtleer. Weiter sei <math>f : U \rightarrow Y</math> ein <math>(k+1)</math>-fach Fréchet-differenzierbarer Operator, sowie <math>a\in U, h\in X</math> mit <math>a+th\in U</math> für alle <math> t\in [0,1]</math>. Dann gilt:
<math>
f(a+h) = f(a) + \sum\limits_{j=1}^k \frac{1}{j!} D^jf(a)(h,...,h) + R_{k+1}(a,h)
</math>
Hierbei ist <math>D^j f(a)</math> die <math>j</math>-te Fréchet-Ableitung von <math>f</math>, d. h. eine stetige <math>j</math>-Linearform auf <math>X</math> mit Werten in <math>Y</math>. Das Restglied <math>R_{k+1}</math> erfüllt die folgende Eigenschaft: Für jedes Element des Dualraumes <math> T\in X^*</math> gilt:
<math>
TR_{k+1}(a,h) = \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^k}{k!}TD^{k+1} f(a+th)(h,...,h)dt
</math>
Beweis:
Sei <math>T\in Y^*</math> ein beliebiges Funktional, dann ist <math>\gamma : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}, t\mapsto Tf(a+th) </math> eine <math>(k+1)</math>-fach stetig differenzierbare, reellwertige Funktion, d. h. lässt sich mit der eindimensionalen Taylor-Formel schreiben als
<math>
\gamma(1) = \gamma(0) + \sum\limits_{j=1}^k \frac{\gamma^j(0)}{j!}(1-0) + \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^k}{k!}D^{k+1}\gamma(t)dt.
</math>
Mit Hilfe der Kettenregel für die Fréchet-Ableitung folgt hieraus die gewünschte Formel für <math>Tf</math>. Da dies für jedes Element des Dualraumes gilt, folgt aus der Trennungsaussage des Satzes von Hahn-Banach die entsprechende Formel für <math>f</math>.
Literatur
Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8., verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung imRn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7., verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
Bernhard Heck: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. Klassische und moderne Methoden. Wichmann, Karlsruhe 1987, ISBN 3-87907-173-X, Kapitel 4, 7 und 13 (Mathematische Modelle und Grundlagen).
Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
