Oszillierendes Integral
Ein oszillierendes Integral ist ein mathematischer Begriff aus der Analysis, insbesondere aus der Fourier-Analysis und der Theorie partieller Differentialgleichungen. Er bezeichnet Integralausdrücke, deren Integrand eine stark oszillierende Exponentialfunktion enthält. Solche Integrale treten beispielsweise in der Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen, in der Fourier-Analysis sowie in der Theorie der Fourier-Integraloperatoren auf.
Häufig konvergieren Integrale mit stark oszillierenden Integranden im klassischen Sinn nicht. Durch geeignete Regularisierungsverfahren lassen sie sich jedoch dennoch sinnvoll definieren, etwa als Distributionen oder als Grenzwerte regulierter Integrale. Auf diese Weise können Integralausdrücke der Form
- <math>\int e^{i\varphi(x,\xi)} a(x,\xi)d\xi</math>
interpretiert werden, wobei <math>\varphi</math> eine sogenannte Phasenfunktion und <math>a</math> eine Amplitude ist.
Der Begriff des oszillierenden Integrals spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Fourier-Integraloperatoren sowie in asymptotischen Methoden wie der Methode der stationären Phase.
Phasenfunktion
Definition
Sei <math>X\subset \mathbb{R}^n</math> eine offene Menge. Eine glatte Funktion <math>\phi \in C^\infty(X \times \R^n\backslash \{0\})</math> heißt Phasenfunktion, falls für alle <math>(x,\xi) \in X \times \R^n \backslash \{0\}</math>
- der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt
- <math>\operatorname{Im}\phi(x,\xi) \geq 0</math>.
- die Funktion homogen in der zweiten Variablen ist, das heißt
- <math> \phi(x,\lambda \xi) = \lambda \phi(x,\xi)</math> für alle <math>\lambda > 0</math>.
- das Differential nicht verschwindet, das heißt
- <math> \frac{\mathrm{d} \phi(x,\xi)}{\mathrm{d}(x,\xi)} \neq 0</math>.
Beispiel
- Die Abbildungen <math>(x,\xi) \mapsto \pm \langle x,\xi \rangle</math>, wobei <math>\langle\cdot , \cdot \rangle</math> das Standardskalarprodukt bezeichnet, sind Phasenfunktionen, welche bei der Fourier-Transformation und ihrer Rücktransformation auftreten.
Motivation
In vielen Bereichen der Analysis treten Integrale der Form
- <math>\int_{\mathbb{R}^n} e^{i\varphi(x,\xi)} a(x,\xi)\,\mathrm d\xi</math>
auf, wobei <math>\varphi</math> eine sogenannte Phasenfunktion und <math>a</math> eine Amplitude ist. Solche Integrale erscheinen beispielsweise bei der Fourier-Transformation, bei Integraloperatoren in der Theorie partieller Differentialgleichungen sowie in der mikrolokalen Analysis.
Aufgrund der stark oszillierenden Exponentialfunktion konvergieren diese Integrale häufig nicht im klassischen Sinn. Dennoch besitzen sie oft eine wohldefinierte Bedeutung, etwa als Distribution oder als Grenzwert regulierter Integrale. Um solche Ausdrücke systematisch behandeln zu können, führt man den Begriff des oszillierenden Integrals ein.
Fortsetzungssätze
Fourier-Transformation auf L2
Die Fourier-Transformation kann auf dem Schwartz-Raum <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> durch den Integraloperator
- <math>I_{-tx}(f)(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} t x} f(x) \,\mathrm{d} x</math>
definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf <math>L^2</math> fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede <math>L^2</math>-Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.
Raum der Symbolklassen
Mit <math>\mathcal{D}'(X)</math> wird der Raum der Distributionen auf <math>X</math> und mit <math>S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n)</math> der Raum der Symbolklassen bezeichnet. Sei <math>\phi</math> eine Phasenfunktion und sei <math>0 < \rho \leq 1</math>, <math>0 \leq \delta < 1</math>. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung
- <math>I_\phi : S^\infty_{\rho,\delta}(X \times \R^n) = \bigcup_{m \in \R} S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to \mathcal{D}'(X)</math>
zu definieren, so dass für <math>a \in S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n),\ m < - n</math> das Integral
- <math>I_\phi(a)(x) = \int_{\R^n} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi</math>
existiert und die Abbildung <math>I_\phi : S^\infty_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to \mathcal{D}'(X)</math> stetig ist.
Definition
Die beiden oben erwähnten Fortsetzungssätze zeigen, dass es wünschenswert ist, einen Integralbegriff zu haben, so dass man auch die Fortsetzungen in der Integralschreibweise ausdrücken kann. Dafür kann das im Folgenden definierte oszillierende Integral verwendet werden.
Oszillierendes Integral
Sei <math>\chi \in C^{\infty}_c(\R^n)</math> eine Abschneidefunktion mit <math>\chi(\xi) = 1</math> für <math>|\xi| \leq 1</math> und <math>\chi(\xi) = 0</math> für <math>|\xi| \geq 2</math>. Außerdem sei <math>\phi \colon \R^n \times \R^N \to \R</math> eine Phasenfunktion und <math>a \in S^m(\R^n \times \R^N)</math> eine Symbolklasse. Nun setzt man
- <math>I_\phi(a)(x) := \int_{\R^N} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi := \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi\,</math>
wobei der Grenzwert im Sinne von Distributionen zu verstehen ist. Das heißt, der Grenzwert ist durch
- <math>\langle I_\phi(a), u \rangle = \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \int_{\R^n} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(x)\mathrm{d}x \mathrm{d}\xi</math>
für alle Testfunktionen <math>u \in \mathcal{D}(\R^n) \cong C_c^\infty(\R^n)</math> erklärt. Der Integralausdruck <math>I_\phi</math> heißt oszillierendes Integral.
Oszillierender Integraloperator
Sei <math>\phi \colon \R^n \times \R^N \to \R</math>wieder eine Phasenfunktion und <math>a \in S^m(\R^n \times \R^N)</math> eine Symbolklasse. Die Abbildung
- <math>u \mapsto T_\lambda(u)(x) := I_\phi(au)(x) = \int_{\R^N} e^{i \lambda \phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi</math>
ist ein oszillierender Integraloperator.
Beschränktheit auf L2
Lars Hörmander zeigte, dass oszillierende Integraloperatoren unter gewissen Voraussetzungen beschränkte Operatoren auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen <math>L^2(\R^n)</math> sind.<ref>L. Hörmander: Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971), 79–183. {{#invoke:Vorlage:Handle|f|scheme=doi|class=plainlinks|parProblem=Problem|errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:DOI|errClasses=error editoronly|errHide=1|errNS=0 4 10 100}}</ref>
Sei <math>\phi</math> eine Phasenfunktion und die Symbolklasse <math>a \colon \R^n \times \R^N \to \R</math> sei eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann existiert eine Konstante <math>C</math>, so dass
- <math>\|T_\lambda (u)\|_{L^2(\R^n)} \leq C \lambda^{-\frac{n}{2}} \|u\|_{L^2(\R^n)}</math>
gilt,<ref>Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5, S. 377.</ref> was bedeutet, dass der lineare Operator <math>T_\lambda</math> auf <math>L^2</math> beschränkt, also stetig, ist. Außerdem folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass die Familie <math>(T_\lambda)_\lambda</math> von Operatoren gleichmäßig beschränkt ist.
Beispiele
Fourier-Transformation
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Sei <math>a \colon \R^n \times \R^n \to \R</math> eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit <math>a(0,0) = \tfrac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}</math> und sei <math>\phi(x,\xi) = -\langle x, \xi \rangle</math> die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator
- <math>T_\lambda(u)(x) = I_\phi(au)(x) = \int_{\R^n} e^{- i \lambda \langle x, \xi \rangle} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi</math>
in
- <math>\tilde{T}_\lambda(u)(x) = \int_{\R^n} e^{-i\langle x, \xi \rangle} a\left(\frac{x}{\sqrt{\lambda}},\frac{\xi}{\sqrt{\lambda}}\right) u(\xi) \mathrm{d}\xi</math>
transformieren. Diese Familie von Operatoren ist gleichmäßig beschränkt auf <math>L^2</math> und für <math>\lambda \to \infty</math> erhält man die Fourier-Transformation
- <math>\tilde{T}_\infty(u)(x) = \mathcal{F}(u)(x) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} x \xi} u(\xi) \,\mathrm{d} \xi</math>.
Pseudodifferentialoperator
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Mit Hilfe des oszillierenden Integrals definiert man einen speziellen stetigen und linearen Operator
- <math>T \colon \mathcal{S}(\R^n) \to \mathcal{S}(\R^n)</math>
auf den Schwartz-Raum, welcher durch
- <math style="margin-left:2em">\begin{align}T(u)(x) = I_{\langle x,\xi\rangle}(a\, \mathcal{F}(u))(x)
&= \int_{\R^n} e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathcal{F}(u)(\xi) \mathrm{d} \xi\\ &= \int_{\R^n}e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \int_{\R^n} e^{-i \langle y, \xi \rangle} u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi \\ &= \int_{\R^n} \int_{\R^n} e^{i\langle x - y ,\xi\rangle} a(x,\xi) u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi \end{align}</math>
gegeben ist. Die Funktion <math>a \in S^m(\R^n \times \R^n)</math> ist eine Symbolfunktion und der Operator <math>T</math> heißt Pseudodifferentialoperator. Es ist eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators. Der Integralkern dieses Operators lautet
- <math>K(x,y) := \int_{\R^n} e^{i\langle x-y,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathrm{d} \xi</math>
und ist ein typischer Schwartz-Kern.
Literatur
- Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
- Elias M. Stein: Harmonic Analysis. Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, Princeton NJ 1993, ISBN 0-691-03216-5 (Princeton mathematical Series 43 = Monographs in harmonic Analysis 3).
- Alain Grigis, Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-44986-3 (London Mathematical Society lecture note series 196).
Einzelnachweise
<references />