Symbolklasse

Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt<ref>Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 40.</ref> und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:|Vorlage:EoM/id}}</ref> genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

Symbolklassen

Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.

Definition

Seien <math>n, N \in \N</math> natürliche Zahlen, <math>X \subset \R^n</math> eine offene Teilmenge und <math>m, \rho, \delta</math> reelle Zahlen mit <math>0<\rho \leq 1</math> und <math>0 \leq \delta < 1</math>. Dann versteht man unter <math>S^m_{\rho,\,\delta}(X \times \R^N)</math> die Menge aller glatten Funktionen <math>a \in C^\infty(X \times \R^N)</math>, so dass für jede kompakte Menge <math>K \subset X</math> und alle <math>\alpha, \beta \in \N \cup \{0\}</math> die Ungleichung

<math>

\left|\frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta} \frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha}a(x,\xi)\right| \leq C_{\alpha,\beta,K} (1 + |\xi|)^{m-\rho|\alpha| + \delta|\beta|} </math>

für eine Konstante <math>C_{\alpha, \beta, K}</math> erfüllt ist. Die Elemente von <math>S^m_{\rho,\, \delta}</math> werden Symbole der Ordnung <math>m</math> und des Typs <math>(\rho, \delta)</math> genannt. Außerdem werden die Symbolklassen <math>S^{-\infty}</math> und <math>S^\infty</math> durch

<math>\begin{align}

S^{-\infty} &:= \bigcap_{m \in \R} S^m_{\rho, \delta} \\ S^{\infty}_{\rho, \delta} &:= \bigcup_{m \in \R} S^m_{\rho, \delta} \end{align}</math> definiert.

Topologisierung

Die besten Konstanten der Ungleichung

<math>\left|\frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta} \frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha}a(x,\xi)\right| \leq C_{\alpha,\beta,K} (1 + |\xi|)^{m-\rho|\alpha| + \delta|\beta|}</math>

das heißt die Konstanten

<math>p_{K,\alpha,\beta}(a) := \sup_{x \in K;\ \xi \in \R^n} \frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta} \frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha}a(x,\xi) (1 + |\xi|)^{-m+\rho|\alpha| - \delta|\beta|}</math>

sind Halbnormen. Diese machen die Räume <math>S^m(X \times \R^n)</math> zu Fréchet-Räumen. Da <math>\textstyle S^{-\infty} := \bigcap_{m \in \R} S^m_{\rho, \delta} = \bigcap_{m \in \Z} S^m_{\rho, \delta}</math> gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch <math>S^{-\infty}</math> ein Fréchetraum.

Beispiele

Sei <math>X \subset \R^n</math> eine offene Teilmenge.

Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen <math>\R</math> mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von <math>S^0_{1,0}(X \times \R^N)</math>.
Sei

<math>p(x,\xi) = \sum_{|\alpha| \leq k} a_{\alpha}(x)\xi^\alpha</math>

mit Koeffizientenfunktionen <math>a_\alpha \in C^\infty(X)</math> ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung <math>k\in \N_0</math>. Dann gilt <math>p \in S^k_{1,0}(X \times \R^N)</math>.<ref name="Wong29">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Sei <math>p(\xi) = (1 + |\xi|^2)^{m/2}</math> mit <math>- \infty < m < \infty</math>. Dann gilt <math>p \in S^m_{1,0}(X \times \R^N)</math>.<ref name="Wong29" />

Eigenschaften

Die Symbolklassen <math>S^m_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math> sind für alle <math>m \in \R \cup \{-\infty, \infty\}</math>, <math>0<\rho \leq 1</math> und <math>0 \leq \delta < 1</math> Montel-Räume.
Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung

<math>p \mapsto \frac{\partial^\beta}{\partial x^\beta}\frac{\partial^\alpha}{\partial \xi^\alpha} p(x,\xi) \colon S^m_{\rho, \delta}(X \times \R^N) \to S^{m - \rho|\alpha|}_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math>

linear und stetig ist.

Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich

<math>(p, \tilde{p}) \mapsto p(x,\xi) \tilde{p}(x,\xi) \colon S^m_{\rho, \delta}(X \times \R^N) \times S^{m'}_{\rho, \delta}(X \times \R^N) \to S^{m + m'}_{\rho, \delta}(X \times \R^N) \,.</math>

Diese Abbildung ist bilinear und stetig.

Für <math>m \leq m'</math> gilt <math>S^m_{1,0} \subset S^{m'}_{1,0}</math>.
Sei <math>a \in C^\infty(X \times \R^N)</math> positiv homogen vom Grad m für <math>|\xi| \geq 1</math>, das heißt

<math>a(x,\lambda \xi) = \lambda^m a(x,\xi)</math>

für <math>\lambda \geq 1</math> und <math>|\xi| \geq 1</math>. Dann gilt <math>a \in S^m_{1,0}(X \times \R^N)</math>.

Sei <math>X \subset \R^N</math> offen und <math>m < m'</math>. Auf beschränkten Teilmengen von <math>S^m_{1,0}(X \times \R^N)</math> ist die durch <math>S^{m'}_{1,0}(X \times \R^N)</math> induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
Sei <math>m < m'</math>. Dann ist <math>S^{-\infty}(X \times \R^N)</math> in der <math>S^{m'}_{1,0}</math>-Topologie dicht in <math>S^m_{1,0}(X \times \R^N)</math>.

Asymptotische Entwicklung eines Symbols

Definition

Sei <math>a \in S^m_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math> ein Symbol. Existieren <math>a_i \in S^{m_i}_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math> mit

<math>m = m_0 > m_1 > \ldots > m_i \to -\infty \quad i \to \infty\, ,</math>

so dass

<math>a - \sum_{j=0}^{N-1} a_j \in S^{m_N}_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math>

für jede positive Zahl <math>N \in \N</math> gilt. Die formale Reihe <math>\textstyle \sum_{j=0}^\infty a_j</math> ist eine asymptotische Entwicklung von <math>a</math> und man schreibt

<math>a \sim \sum_{j=0}^\infty a_j\,.</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eindeutigkeit

Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse <math>S^{-\infty} (X \times \R^N)</math>. Präzise formuliert heißt das:

Sei <math>m_0 > m_1 > \ldots > m_i \to \infty</math> eine Zerlegung mit <math>i \to \infty</math> und sei <math>a_i \in S^{m_i}_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math>. Dann existiert ein Symbol <math>a \in S^{m_0}_{\rho, \delta}(X \times \R^N)</math>, so dass

<math>a \sim \sum_{j=0}^\infty a_j</math>

gilt. Gibt es ein weiteres Symbol <math>b</math> mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt <math>a - b \in S^{-\infty} (X \times \R^N)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Klassisches Symbol

Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum <math>S_{1,0}^m.</math> Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.<ref>J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269–305.</ref>

Ein Symbol <math>a \in S^m_{1,0}(X \times \R^N)</math> heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür <math>a \in S^m_{cl} (X \times \R^N)</math>, wenn es eine Ausschälfunktion <math>\phi \in C^\infty(\R^N)</math> gibt und Funktionen <math>a_j \in C^\infty(X \times (\R^N \backslash \{0\}))</math>, so dass jedes <math>a_j</math> positiv homogen von der Ordnung <math>m - j</math> in der Variablen <math>\xi</math> ist. Es muss also

<math>a_j(x, t \xi) = t^{m-j} a_j(x,\xi)\qquad \forall (x,t,\xi) \in X \times \R^N \times \R_+</math>

gelten und außerdem muss

<math>a(x,\xi) - \sum_{j=0}^{k-1} \phi(x)a_j(x,\xi) \in S^{m-k}(X \times \R^N)</math>

für alle <math>k \in \N</math> gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von <math>a</math>.

Einzelnachweise

Literatur

Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6
Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4