Satz von Banach-Steinhaus

Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder (uniform boundedness principle) bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungen aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen. Er findet sich aber schon im Wesentlichen 1912 bei Eduard Helly.<ref>Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem. In: The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125</ref>

Satz von Banach-Steinhaus

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume und <math>(T_n)_{n\in \N}</math> mit <math>T_n \colon X \to Y</math> <math>(n \in \N)</math> eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: <math>(T_n)_{n\in \N}</math> konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:

Die Operatornormenfolge <math> (\| T_n \| )_{n\in \N}</math> ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen.
Es existiert in <math>X</math> eine dichte Teilmenge <math>X_0 \subseteq X</math>, so dass für jedes <math>x_0 \in X_0</math> die Folge <math>({T_n} x_0)_{n\in \N}</math> innerhalb <math>Y</math> konvergiert.

Satz von Banach-Steinhaus (Variante)

Sei <math>X</math> ein Banachraum, <math>Y</math> ein normierter Raum und <math>(T_n)_{n\in \N}</math> mit <math>T_n \colon X \to Y</math> <math>(n \in \N)</math> eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: Falls <math>(T_n)_{n\in \N}</math> punktweise konvergiert, so definiert <math>Tx:=\lim_{n\rightarrow\infty}{T_n} x</math> <math>(x\in X)</math> einen stetigen linearen Operator <math>T:X\rightarrow Y</math> und es gilt <math>\left\| T \right\| \le \liminf_{n\rightarrow\infty}{ \left\| T_n \right\|} \le \sup_{n\in\N}{ \left\| T_n \right\|} < \infty.</math>

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Sei <math>X</math> ein Banachraum, <math>N</math> ein normierter Vektorraum und <math>F</math> eine Familie stetiger, linearer Operatoren von <math>X</math> nach <math>N</math>.

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

<math>\sup \left\{\,\|T (x)\| : T \in F \,\right\} < \infty </math> für alle <math> x \in X </math>

die gleichmäßige Beschränktheit

<math> \sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty.</math>

Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit

In Anlehnung an Dirk Werner lässt sich das Beschränktheitprinzips folgendermaßen herleiten:<ref>Dirk Werner: Funktionalanalysis, 8. Auflage, Springer ,. 2018</ref>

Setze <math>X_{n} := \left\{x\in X\mid\forall{T\in F:}~\|T(x)\|\leq n\right\}</math> für <math>n \in\mathbb{N}</math>. Diese Mengen sind abgeschlossen (<math>X_n = \bigcap_{T\in F} {\| T(~\cdot~) \|}^{-1} ([0,n]) </math>), da die <math>T</math> stetig sind. Nach Annahme gilt <math>X\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}X_n</math>. Nach dem Satz von Baire enthält eine diese Mengen eine offene Kugel <math>\mathcal{B}_{\delta}(x_{0})\subseteq X_{N}</math>. Da <math>X_N</math> symmetrisch ist, gilt dasselbe für <math>-x_0</math>. Ist nun <math>\|x\| \leq \delta</math>, gilt <math> x = \frac{1}{2}\left((x+x_0)+(x+(-x_0))\right) \in \frac{1}{2}\left( X_N + X_N \right) \subseteq X_N</math>, wobei die letzte Teilmengenrelation aus der Konvexität von <math>X_N</math> folgt. Somit ist <math>\|T\|\leq \tfrac{N}{\delta}</math> für alle <math>T \in F</math>, sodass <math>\tfrac{N}{\delta}</math> eine gleichmäßige Schranke für die Menge <math>F</math> ist.

Anmerkungen

Punktweise Konvergenz von Operatoren wird in Abgrenzung zur schwachen Konvergenz auch als starke Konvergenz bezeichnet und sollte nicht mit der noch stärkeren Normkonvergenz verwechselt werden.
Für das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist die Vollständigkeit von <math>X</math> eine wesentliche Voraussetzung und die Aussage ist ohne die Vollständigkeit im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel sieht man auf <math>X:=\left\{(x_n)_{n\in \N}| \exists N\in \N: \forall m\geq N: x_m=0\right\}</math>, dem Vektorraum der abbrechenden Folgen (z. B. mit ℓ¹-Norm). Hierauf definiert man die linearen Operatoren <math>A_k: X\to \R, (x_n)_{n\in \N}\mapsto k\cdot x_k</math>. Die Familie <math>F:=(A_k)_{k\in \N}</math> erfüllt auf diesem <math>X</math> zwar die punktweise Beschränktheit, allerdings gilt <math>\|A_k\|=k</math> und somit <math> \sup \left\{\, \|A_k\| : k\in \N \;\right\} = \infty.</math>
Falls man wie in der Hauptfassung lediglich punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge <math>X_0 \subseteq X</math> voraussetzt, muss die Beschränktheit der Folge <math>(\| T_n \| )_{n\in \N}</math> der Operatornormen zusätzlich vorausgesetzt werden.
Am einfachsten folgt obige Hauptfassung mit Hilfe der Variante und diese wiederum aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Folgerungen

Jede schwach konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt.
Eine bilineare Abbildung <math>B: X\times Y\to Z</math> auf Banachräumen <math>X,Y</math> ist stetig genau dann wenn die Abbildungen <math>x\mapsto B(x,y)</math> für alle <math>y\in Y </math> und <math>y\mapsto B(x,y)</math> für alle <math>x\in X</math> stetig sind.

Verallgemeinerungen

Für lineare Operatoren auf tonnelierten Räumen

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist <math>X</math> ein tonnelierter Raum, <math>Y</math> ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von <math>X</math> nach <math>Y</math> ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf vollständigen metrischen Räumen

Bei Hirzebruch-Scharlau findet man die folgende sehr allgemeine Version des Beschränktheitprinzips im Kontext der vollständigen metrische Räume:<ref>Hirzebruch, Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 22</ref>

Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum <math>(X,d)</math> und weiter eine Familie <math> \mathcal F = (f_i)_{i \in I}</math> von stetigen reellwertigen Funktionen

<math>f_i \colon (X, d) \to \R \; \; ( i \in I )</math> ,

welche punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

<math> \sup_{i \in I } {f_i(x)} < \infty \; \; (x \in X )</math> .

Dann gibt es in <math>(X,d)</math> eine nicht-leere offene Teilmenge <math>U</math> derart, dass die Familie <math> {\mathcal F}{\upharpoonright U} = {({f_i}{\upharpoonright}U)}_{i \in I} </math> der auf <math>U</math> eingeschränkten Funktionen sogar gleichmäßig nach oben beschränkt ist, also der Bedingung

<math> \sup_{i \in I \; , \; u \in U }{f_i(u)} < \infty </math>

genügt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf topologischen Räumen

Es existiert darüber hinaus eine sehr weit reichende Verallgemeinerung für stetige reellwertige Funktionen auf beliebigen topologischen Räumen. Diese ist Inhalt des Satzes von Osgood in der Funktionalanalysis.

Literatur

Stefan Banach, Hugo Steinhaus: Sur le principe de la condensation de singularités. In: Fundamenta Mathematicae. Band 9, 1927, S. 50–61 (Eintrag zbMATH Open – PDF).
Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 3., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22206-X.
Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (Eintrag zbMATH Open).
Ronald Larsen: Functional Analysis. An Introduction (= Pure and Applied Mathematics. Band 15). Marcel Dekker, New York 1973, ISBN 0-8247-6042-5 (Eintrag zbMATH Open).
Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7 (Eintrag zbMATH Open).
Kōsaku Yosida: Functional Analysis (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 123). 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-10210-8, Abschnitt II.1 The uniform boundedness theorem and the resonance theorem, S. 68 f. (Eintrag zbMATH Open).

Einzelnachweise