Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen <math>c,</math> für welche die durch die iterative Vorschrift <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math> mit dem Anfangswert <math>z_0 = 0</math> definierte Folge <math>z_0, z_1, z_2, z_3, \ldots</math> endlich bleibt, d. h. beschränkt ist.
Interpretiert man die Mandelbrot-Menge (eine Teilmenge der Gaußschen Zahlenebenen) als geometrische Figur, so ergibt sie ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird. Bilder berechnet man, indem man jedem Pixel <math>(x,y)</math> eines Bildes eine komplexe Zahl zuordnet <math>(c = c_0 + a \!\cdot\! x + bi \!\cdot\! y)</math><ref group="A">Im Bild rechts mit 4000 × 3000 Pixeln ist c0 = −0,7 (Mittelpunkt) und a = b = 3,1 / 4000 = 0,000775 (Pixelgröße) gewählt worden. Die Pixelkoordinate x läuft von −2000 bis 1999 und y von −1500 bis 1499. Dabei wird die komplexe Zahlenebene im Realteil von −2,25 bis 0,85 und im Imaginärteil von −1,1625 bis 1,1625 abgerastert.</ref> und beginnend mit <math>z_0 = 0</math> untersucht, ob und wann die Iterationen anfangen, zu „explodieren“. Bleiben die Werte klein, wird das Pixel häufig schwarz gefärbt, kommt es zu einer „Explosion“ der Zahlenwerte, wird die Anzahl der dafür notwendigen Iterationen als Farbe kodiert.<ref group="A">Im Bild rechts wird die 5 als dunkelrot, 10 als blau, 15 als grün und 20 als türkis kodiert. Die Mandelbrot-Menge im Inneren selbst wird wie oft üblich schwarz kodiert.</ref>
Die ersten mit einem Computer generierten Darstellungen<ref group="A">Ausgabe auf einem Blatt Papier mit einem Drucker mit ca. 72 x 35 Pixeln Auflösung.</ref> wurden 1978 von Robert W. Brooks und Peter Matelski vorgestellt.<ref>Robert Brooks, J. Peter Matelski: The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C). In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference. In: Annals of Mathematics Studies. Band 97, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981, S. 65–71. PDF; 0,9 MB.</ref> 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über das Thema.<ref>Benoît Mandelbrot: Fractal aspects of the iteration of <math>z\mapsto\lambda z(1-z)</math> for complex <math>\lambda, z.</math> In: Annals of the New York Academy of Sciences. Band 357, S. 249–259.</ref> Später wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht.<ref>Adrien Douady, John H. Hubbard: Etude dynamique des polynômes complexes. In: Prépublications mathématiques d’Orsay. 2/4, 1984/1985. <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20170130085142
| {{#ifeq: 20170130085142 | *
| {{#if: PDF; 5,2 MB | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|PDF; 5,2 MB}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}} }} (Archivversionen)
| {{#iferror: {{#time: j. F Y|20170130085142}}
| {{#if: || }}Der Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein!
| {{#if: PDF; 5,2 MB | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|PDF; 5,2 MB}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20170130085142}} im Internet Archive{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
}}
}}
| {{#if:
| {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
| {{#switch: {{#invoke:Str|len|{{{webciteID}}}}}
| 16= {{#if: PDF; 5,2 MB | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|PDF; 5,2 MB}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{{webciteID}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| 9 = {{#if: PDF; 5,2 MB | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|PDF; 5,2 MB}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!{{#if: || }}
}}
| c|{{{webciteID}}}}} {{#if: PDF; 5,2 MB | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|PDF; 5,2 MB}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}} }} ({{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
}}
| {{#if:
| Vorlage:Webarchiv/Today
| {{#if:
| Vorlage:Webarchiv/Generisch
| {{#if: PDF; 5,2 MB | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|PDF; 5,2 MB}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}} }}
}}}}}}}}{{#if:
| Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all = url=
|opt = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
|cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
|errNS = 0
|template = Vorlage:Webarchiv
|format = *
|preview = 1
}}{{#ifexpr: {{#if:20170130085142|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
}}{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
| web.archive.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}}
| webcitation.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}}
| archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
}}{{#if:
| {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
| }}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
}}
| {{#if:
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
}}
}}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf}}
|| {{#if: || }}
}}{{#if: PDF; 5,2 MB
| {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|PDF; 5,2 MB}}
| {{#if: || }}
}}
| {{#if: || }}
}}{{#switch:
|addlarchives|addlpages= {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
}}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf%7Carchiv}} |-1
|| {{#ifeq: {{#invoke:Str|find|{{#invoke:Str|cropleft|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf%7C4}}%7Chttp}} |-1
|| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://sites.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf }}
| abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org =
| #default = {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
}}
}}
}}. Englische Übersetzung: PDF; 1,6 MB.</ref> Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.
Definition
Definition über Rekursion
Die Mandelbrot-Menge <math>\mathbb M</math> ist die Menge aller komplexen Zahlen <math>c,</math> für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen <math>z_0, z_1, z_2, \ldots</math> mit dem Anfangsglied
- <math>z_0 = 0</math>
und dem Bildungsgesetz
- <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math>
beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl <math>c</math> ist Element der Mandelbrot-Menge <math>\mathbb M,</math> wenn die Beträge der mit diesem <math>c</math> berechneten <math>z_n</math> nicht über jede Grenze wachsen, unabhängig davon, wie groß <math>n</math> wird. Dies lässt sich wie folgt schreiben:
- <math>z_0 = 0, z_{n+1} = z_n^2 +c; \;\; c \in \mathbb M \iff \exist g \in \R: \limsup_{n \to \infty}|z_n| \le g.</math>
Es lässt sich zeigen, dass der Betrag der <math>z_n</math> über jede Grenze wächst, sobald ein <math>z_n</math> mit <math>|z_n| > 2</math> auftritt, somit ist diese Definition gleichbedeutend mit:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Robert P. Munafo|Robert P. Munafo: }}{{#if:|{{#if:Escape Radius|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Escape Radius}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Escape Radius}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Escape Radius}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:mrob.com1997{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Escape Radius|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Escape Radius|lines=0}}||}}}}{{#if: mrob.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mrob.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 1997|,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 1997| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|1997|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|1997|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=1997|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:1997|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2024-11-01|;}}}}{{#if: 2024-11-01| {{#if:1997{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2024-11-01 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2024-11-01|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2024-11-01|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:mrob.com1997{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 1997{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html | {{#if: | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html | {{#if: | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://mrob.com/pub/muency/escaperadius.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
- <math>z_0 = 0, z_{n+1} = z_n^2 +c; \;\; c \in \mathbb M \iff \limsup_{n \to \infty}|z_n| \le 2.</math>
Definition über komplexe quadratische Polynome
Die Mandelbrot-Menge lässt sich auch über komplexe quadratische Polynome beschreiben:
- <math>P_c : \Complex \to \Complex, \, z \mapsto z^2 +c</math>
mit einem komplexen Parameter <math>c.</math> Für jedes <math>c</math> wird die Folge
- <math>(P_c^0(0), \; P_c^1(0), \, P_c^2(0), \, \ldots) = ( \, P_c^n(0) \, )_{n \in \N}</math>
iterativ berechnet, wobei <math>P_c^n</math> die {{#if:trim|<math>n</math>-fache}} Hintereinanderausführung der Iteration bedeutet, also
- <math>P_c^0(z) = z</math>
- <math>P_c^{n+1}(z) = P_c(P_c^n(z)), \; n \in \N.</math>
In Abhängigkeit vom Wert des Parameters <math>c</math> wächst diese Folge dann entweder unbeschränkt, sodass also <math>c</math> kein Element der Mandelbrot-Menge ist, oder sie verbleibt innerhalb eines Bereichs um den Ursprung der Zahlenebene, und <math>c</math> ist Element der Mandelbrot-Menge.
Die Mandelbrot-Menge ist eine Untermenge der komplexen Zahlen mit der Definition:
- <math>\mathbb M = \lbrace c \in \Complex \; | \; \exists s \in \R: \forall n \in \N: |P_c^n(0)| \le s \rbrace</math>
oder gleichbedeutend:
- <math>\mathbb M = \lbrace c \in \Complex \; | \; \forall n \in \N: |P_c^n(0)| \le 2 \rbrace .</math>
Zur Erläuterung werden einige Eigenschaften und Beispiele angeführt:
- Aufgrund der zuvor beschriebenen Feststellung kann <math>s=2</math> gesetzt werden. Dabei gibt der Wert <math>s=2</math> den Radius um den Ursprung an, innerhalb dessen ein Element von <math>\mathbb M</math> liegen kann. Außerhalb dieses Kreises sind keine Elemente von <math>\mathbb M</math> zu finden.
- Wegen der Betragsfunktion ist <math>\mathbb M</math> symmetrisch zur reellen Achse.
- Um die Menge <math>\mathbb M</math> grafisch darzustellen, müssen die Werte des Parameters <math>c</math> alle einzeln bis zu einer selbstbestimmten Anzahl von Iterationen berechnet werden.
- Für <math>c = -2\ </math> lautet die Folge <math>0,\,-2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ldots</math> und ist beschränkt. Daher ist <math>c = -2\ </math> Element von <math>\mathbb M.</math>
- Für <math>c = +2\ </math> lautet die Folge <math>0,\ 2,\ 6,\ 38,\ 1446, \ldots</math> und ist divergent. Daher ist <math>c = +2\ </math> kein Element von <math>\mathbb M.</math>
Definition über Julia-Mengen
Die Mandelbrot-Menge <math>\mathbb M</math> wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge <math>J_c</math> zu einer bestimmten komplexen Zahl <math>c</math> ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte <math>z_0,</math> für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Es kann bewiesen werden, dass die Mandelbrot-Menge <math>\mathbb M</math> genau die Menge der Werte <math>c</math> ist, für die die zugehörige Julia-Menge <math>J_c</math> zusammenhängend ist.<ref>Lei Tan: Similarity between the Mandelbrot set and the Julia sets. In: Communications in Mathematical Physics. 1990, Band 134, Nr. 3, S. 587–617. PDF; 2,8 MB. Bei: ProjectEuclid.org.</ref>
Dieses Prinzip wird in vielen Resultaten über das Verhalten der Mandelbrot-Menge <math>\mathbb M</math> vertieft. So zeigt Shishikura, dass der Rand der Mandelbrot-Menge <math>\mathbb M</math> ebenso wie die zugehörige Julia-Menge <math>J_c</math> die Hausdorff-Dimension 2 hat.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Ein unveröffentlichtes Manuskript von Jean-Christophe Yoccoz diente John Hamal Hubbard als Grundlage für seine Ergebnisse über lokal zusammenhängende Julia-Mengen <math>J_c</math> und lokal zusammenhängende Mandelbrot-Mengen <math>\mathbb M.</math><ref>John H. Hubbard: Local connectivity of Julia Sets and bifurcation loci. Three Theorems of J.-C. Yoccoz. Hubbard zitiert in seiner Arbeit auf Seite 511 ein unveröffentlichtes Manuskript von J.-C. Yoccoz. PDF; 0,4 MB. 1993.</ref>
Bezug zur Chaostheorie
Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand deren sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, reelle Zahlenfolgen zu betrachten.
In der Kardioide, also für Werte <math>-0{,}75 \le c \le 0{,}25</math> innerhalb des „Körpers“, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die von <math>-2</math> bis zum Feigenbaum-Punkt <math>-1{,}40115...</math><ref group="A">Folge A218453 in OEIS, erstmals von Pekka Myrberg beschrieben.</ref> reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung und Bifurkation bezeichnet wird. Jeder {{#if:trim|<math>c</math>-Bereich}} zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der {{#if:trim|<math>x</math>-Achse}}.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Robert P. Munafo|Robert P. Munafo: }}{{#if:|{{#if:Feigenbaum Point|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Feigenbaum Point}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Feigenbaum Point}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Feigenbaum Point}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:mrob.com2023{{#if: 2026-03-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Feigenbaum Point|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Feigenbaum Point|lines=0}}||}}}}{{#if: mrob.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mrob.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2023|,|{{#if: 2026-03-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2023| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2023|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2023|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2023|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2026-03-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2026-03-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2023|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2026-03-01|;}}}}{{#if: 2026-03-01| {{#if:2023{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2026-03-01 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2026-03-01|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2026-03-01|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:mrob.com2023{{#if: 2026-03-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2023{{#if: 2026-03-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html | {{#if: | [3] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html | {{#if: | [4] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency/feigenbaumpoint.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante <math>\delta = 4{,}66920...,</math> eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.
Für gewisse komplexe {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter seltsamer Attraktor bekannt.
Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an dem sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von Geraden für die euklidische Geometrie verglichen.
Geometrische und mathematische Eigenschaften
Die Mandelbrot-Menge ist abgeschlossen (da ihr Komplement offen ist) und in der abgeschlossenen Scheibe mit dem Radius 2 um den Ursprung enthalten und somit kompakt.
Es sei <math>P_c(z) = z^2 + c</math> und <math>P_c^n(z)</math> bezeichne die {{#if:trim|<math>n</math>-te}} Iteration. Ein Punkt <math>c</math> gehört genau dann zur Mandelbrot-Menge, falls <math>|P_c^n(0)| \leq 2</math> für alle <math>n\geq 0.</math>
Wird der Betrag von <math>P_c^n(0)</math> größer als 2, dann entkommt die Iteration ins Unendliche, der Betrag wächst über jede Grenze. <math>c</math> gehört dann nicht zur Mandelbrot-Menge.
Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zur Iteration <math>z\to z^2+c</math> sind Fraktale, außer für einige {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} wie <math>c=-2</math> (Strecke) oder <math>c=0</math> (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenem Parameter <math>c</math> einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes <math>c</math> genau die Strukturen der zugehörigen Julia-Menge <math>J_c</math> wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).
In den fraktalen Strukturen am Rand finden sich verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus <math>\mathbb M</math> als auch solche außerhalb von <math>\mathbb M</math> umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind.
Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.
Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln), wie Adrien Douady und John Hamal Hubbard 1984 bewiesen, und es wird vermutet (Douady/Hubbard), dass sie lokal zusammenhängend ist (MLC-Vermutung). Dies ist eine der großen offenen Fragen in der komplexen Dynamik und bisher unbewiesen (obwohl es Teilresultate zum Beispiel von Jean-Christophe Yoccoz gibt, der lokalen Zusammenhang für bestimmte Werte von <math>c</math> bewies, für die endlich-renormalisierbaren Punkte). Die MLC erlaubt weitreichende Folgerungen über die Topologie der Mandelbrot-Menge. Beispielsweise würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, dass jede offene Menge in der Mandelbrot-Menge (also das Innere der Mandelbrot-Menge) aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Die Mandelbrot-Menge ist zwar selbstähnlich, aber nicht exakt, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzfall periodische Strukturen. An speziellen Punkten hat die Mandelbrot-Menge Selbstähnlichkeit (vermutet von John Milnor und bewiesen von Mikhail Lyubich 1999).
Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension 2. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt nach Arbeiten von Mitsuhiro Shishikura ebenfalls 2; das impliziert, dass die Box-Dimension den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrot-Menge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,5065918849.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Thorsten Förstemann|Thorsten Förstemann: }}{{#if:|{{#if:Numerische Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Numerische Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.foerstemann.name/labor.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Numerische Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.foerstemann.name/labor.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Numerische Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:foerstemann.name2018{{#if: 2024-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:de|1}}}}PDF; 0,9 MB 2012, PDF; 1,0 MB 2016, PDF; 3,3 MB 2017| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.foerstemann.name/labor.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.foerstemann.name/labor.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Numerische Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Numerische Flächenabschätzung der Mandelbrotmenge|lines=0}}||}}}}{{#if: foerstemann.name| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=foerstemann.name}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2018|,|{{#if: 2024-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2018| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2018|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2018|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2018|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2024-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2024-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2018|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2024-10-28|;}}}}{{#if: 2024-10-28| {{#if:2018{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2024-10-28 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2024-10-28|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2024-10-28|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:de|1}}}}PDF; 0,9 MB 2012, PDF; 1,0 MB 2016, PDF; 3,3 MB 2017|{{#if:foerstemann.name2018{{#if: 2024-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|de|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: PDF; 0,9 MB 2012, PDF; 1,0 MB 2016, PDF; 3,3 MB 2017|{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}PDF; 0,9 MB 2012, PDF; 1,0 MB 2016, PDF; 3,3 MB 2017}})}}{{#if: 2018{{#if: 2024-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}dePDF; 0,9 MB 2012, PDF; 1,0 MB 2016, PDF; 3,3 MB 2017|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.foerstemann.name/labor.html | {{#if: | [5] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.foerstemann.name/labor.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.foerstemann.name/labor.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.foerstemann.name/labor.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.foerstemann.name/labor.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.foerstemann.name/labor.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.foerstemann.name/labor.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.foerstemann.name/labor.html | {{#if: | [6] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.foerstemann.name/labor.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.foerstemann.name/labor.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.foerstemann.name/labor.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.foerstemann.name/labor.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.foerstemann.name/labor.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.foerstemann.name/labor.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
Die Mandelbrot-Menge enthält deformierte Kopien aller Julia-Mengen, wie Tan Lei 1990 für die Misiurewicz-Punkte der Mandelbrot-Menge bewiesen hat, die dicht im Rand der Mandelbrot-Menge liegen. Das ist ein weiterer Beleg für die enge Verwandtschaft der Struktur von Julia- und Mandelbrot-Mengen. So wurden in den Beweisen von Yoccoz für lokalen Zusammenhang der Mandelbrot-Menge bei endlich renormalisierbaren Punkten und von Shishikura über die fraktale Dimension des Randes der Mandelbrot-Menge zuerst die entsprechenden Eigenschaften bei den zum Parameterwert gehörigen Julia-Mengen untersucht und dann auf die Mandelbrot-Menge übertragen.
Die Frage, ob die Mandelbrot-Menge entscheidbar ist, ergibt zunächst keinen Sinn, da <math>\mathbb M</math> überabzählbar ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das Blum-Shub-Smale-Modell dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrot-Menge nicht entscheidbar.
Bildergalerien
Galerie der Iterationen
Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Nullstellen einiger Polynome <math>z_n(c)</math> der Iteration <math>z_{n+1} = z_n^2+c</math> mit <math>z_0 = 0.</math> Der Realteil <math>x</math> von <math>c = x + iy</math> erstreckt sich in den Bildern von −2,2 bis 1, der Imaginärteil <math>y</math> von −1,4 bis 1,4.
| Bild | Beschreibung |
|---|---|
| n = 1 (1 reelle Nullstelle) Nach dem ersten Schritt gilt <math>z_1(c) = c.</math> Das Bild ist also eine farbige Darstellung der komplexen Zahlen. Der Nullpunkt wird weiß dargestellt; je weiter ein Punkt vom Ursprung entfernt ist, desto dunkler erscheint er. Die Farbe eines Punktes gibt Auskunft über sein Argument, also über den Winkel, den er mit der positiv-reellen Achse (rot) hat. Die negativ-reelle Achse ist türkis gefärbt. | |
| n = 2 (2 reelle Nullstellen) Nach zwei Schritten gilt <math>z_2(c) = c^2+c = c \cdot (c+1).</math> Dieser Ausdruck wird für <math>c=0</math> sowie für <math>c=-1</math> null. Die neu hinzugekommene linke Nullstelle liegt im Zentrum des Kopfes der Mandelbrot-Menge, während die alte auf der rechten Seite das Herz der Leib-Zykloiden ist. | |
| n = 3 (2 reelle und 2 konjugiert-komplexe Nullstellen) Die Anzahl der Nullstellen hat sich auf 4 verdoppelt – wie nach jedem Iterationsschritt. Die reelle Nullstelle links liegt im Herz des kleinen Antennen-Satelliten. Es treten die ersten komplexwertigen Nullstellen ober- und unterhalb der reellen Achse auf. Diese Nullstellen liegen im Zentrum des jeweiligen Ärmchens. | |
| n = 4 (4 reelle und 4 konjugiert-komplexe Nullstellen) Der Dutt ist entstanden: er gehört zur Nullstelle links neben der Kopf-Nullstelle bei <math>c=-1.</math> Die dargestellte Funktion <math>z_4(c)=((c^2+c)^2+c)^2+c</math> wird immer unübersichtlicher. Man kann jedoch einfach nachrechnen, dass alle Nullstellen von <math>z_n</math> auch Nullstellen von <math>z_{k\cdot n}</math> sind. Daher „erbt“ <math>z_4</math> die Nullstellen von <math>z_2.</math> Dieser Zusammenhang ist Ursache für das unten erläuterte periodische Verhalten der Knospen. | |
| n = 5 (4 reelle und 12 konjugiert-komplexe Nullstellen) Da 5 eine Primzahl ist, gibt es keine altbekannten Nullstellen – außer der Null, die von <math>z_1</math> her bekannt ist. Da der Grad des Polynoms <math>z_n(c)</math> gleich <math>2^{n-1}</math> ist, wächst <math>z_n</math> mit wachsendem n immer schneller gegen Unendlich. Dadurch bildet sich der Rand zwischen der Mandelbrot-Menge und ihrem Äußeren immer klarer heraus. | |
| n = 6 (8 reelle und 24 konjugiert-komplexe Nullstellen) Hier kehren die Nullstellen von <math>z_2</math> und <math>z_3</math> wieder zurück. | |
| n = 7 (10 reelle und 54 konjugiert-komplexe Nullstellen) Eine Primzahl, daher leuchten keine alten Strukturen hell auf, sondern nur neu entstandene zwischen diesen. | |
| n = 8 (20 reelle und 108 konjugiert-komplexe Nullstellen) Bisher gibt es 27 = 128 Nullstellen, wobei alle acht Nullstellen von <math>z_4</math> hier wiederkehren. | |
| n = 9 (30 reelle und 226 konj.-kompl. Nullstellen) Inzwischen gibt es bereits 28 = 256 Nullstellen, die auch innerhalb der Mandelbrot-Menge verteilt sind. Da 3 ein Teiler von 9 ist, sind die Armknospen und der kleine Antennensatellit wieder mit einer Nullstelle an der Reihe, und leuchten daher hell auf. | |
| n = 10 (56 reelle und 456 konj.-kompl. Nullstellen) Mit 29 = 512 Nullstellen endet diese Bilderserie. Für größere n steigt die Anzahl der Nullstellen bzw. Knospen exponential weiter an. Fast alle reellen Nullstellen befinden sich auf der Antenne zwischen −2 und −1,4 (vgl. den oben erläuterten Bezug zur Chaostheorie). |
Galerie einer Zoomfahrt
Die folgende Galerie zeigt Bilder einer Zoomfahrt in die Mandelbrot-Menge. Jedes Bild ist dabei die Vergrößerung eines kleinen Ausschnitts des vorangegangenen Bildes. Dazu wird in den 15 Bildern jeweils um einen Faktor 4 bis 8 immer tiefer in die Mandelbrot-Menge hineingezoomt. Das letzte Bild erreicht auf diese Weise einen Vergrößerungsfaktor von etwa 60 Milliarden. Die Sequenz gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente.<ref group="A">Eine Animation genau dieser Zoomfahrt befindet sich auf der Webseite Zoomfahrt in die Mandelbrot-Menge.</ref>
| Bild | Beschreibung |
|---|---|
| Bild 1: Die Mandelbrot-Menge mit stufenlos eingefärbtem Außenraum. | |
| Bild 2: Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, „Tal der Seepferdchen“ genannt. | |
| Bild 3: Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“. | |
| Bild 4: „Seepferdchen“. Der „Körper“ wird von 25 „Speichen“ gebildet, von denen sich zwei Zwölfergruppen nach Art einer Metamorphose auf jeweils einen der beiden „Finger“ an der „oberen Hand“ der Mandelbrot-Menge zurückführen lassen. Die Zahl der „Speichen“ nimmt daher von einem „Seepferdchen“ zum nächsten um zwei zu. Die „Nabe“ wird von einem Misiurewicz-Punkt gebildet (s. u.). Zwischen „Oberkörper“ und „Schwanz“ ist ein deformierter Satellit erkennbar. | |
| Bild 5: Der „Seepferdchenschwanz“ endet ebenfalls in einem Misiurewicz-Punkt. | |
| Bild 6: Teil des „Schwanzes“. Der einzige Pfad, der sich durch den gesamten „Schwanz“ windet, und damit gewährleistet, dass <math>\mathbb M</math> einfach zusammenhängend ist, führt im Zickzack von einer „Schwanzseite“ zur anderen und passiert dabei die „Naben“ der großen 25-spiraligen Gebilde. | |
| Bild 7: Satellit. Die beiden „Seepferdchenschwänze“ bilden den Auftakt für eine Folge von konzentrischen Kränzen mit dem Satelliten im Zentrum. | |
| Bild 8: Jeder dieser Kränze besteht aus gleichartigen Strukturelementen, deren Anzahl pro Kranz mit Potenzen von 2 wächst, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten. Der oben erwähnte Pfad durch den „Seepferdchenschwanz“ passiert den Satelliten über die Kerbe der Kardioide und die Spitze der „Antenne“ auf dem „Kopf“. | |
| Bild 9: „Antenne“ des Satelliten. Auf ihr sind mehrere Satelliten 2. Ordnung erkennbar. | |
| Bild 10: „Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Bild 2. | |
| <math>n</math>-ter}} Ordnung typischen Verkettungen von <math>n+1</math> Strukturelementen für den Fall <math>n=1.</math> | |
| Bild 12: Doppelspiralen mit Satelliten 2. Ordnung. Sie lassen sich als Metamorphose der „Antenne“ interpretieren. | |
| Bild 13: Im Bereich der äußeren Fortsätze sind stets inselartige Strukturen eingestreut, die Julia-Mengen Jc ähneln. Die im Bild größte ist im Zentrum des „Doppelhakens“ rechts gerade eben erkennbar. | |
| Bild 14: Teil des „Doppelhakens“. | |
| Bild 15: Diese Inseln scheinen auf den ersten Blick nach Art von Cantor-Mengen wiederum aus unendlich vielen unzusammenhängenden Teilstücken zu bestehen, wie es für die zugehörigen Jc tatsächlich der Fall ist, sie sind jedoch hier über filigrane Strukturen miteinander verbunden. Diese Strukturen gehen von einem Satelliten im Zentrum aus, der bei dieser Vergrößerung noch nicht sichtbar ist, und zwar derart, dass das Ganze ein einfach zusammenhängendes Gebilde ergibt. Der zum entsprechenden Jc gehörige {{#if:trim|<math>c</math>-Wert}} ist nicht der des Bildzentrums, sondern hat relativ zur Hauptkardioide die gleiche Position wie das Bildzentrum zum Satelliten, der in Bild 8 dargestellt ist. |
Galerie ausgewählter Kunstwerke
Verhalten der Zahlenfolge
Die verschiedenen Strukturelemente von <math>\mathbb M</math> stehen in engem Zusammenhang mit bestimmten Verhaltensweisen der Zahlenfolge, die <math>\mathbb M</math> zugrunde liegt. Je nach Wert von <math>c</math> ergibt sich eine der folgenden vier Möglichkeiten:
- Vorlage:Farbe Sie konvergiert gegen einen Fixpunkt.
- Vorlage:FarbeVorlage:FarbeVorlage:FarbeVorlage:Farbe Sie konvergiert gegen einen periodischen Grenzzyklus, der aus zwei oder mehr Werten besteht. Dazu zählen auch die Fälle, in denen sich die Folge von Anfang periodisch verhält.
- Vorlage:Farbe Sie wiederholt sich nie, bleibt aber beschränkt. Manche Werte zeigen chaotisches Verhalten mit Wechsel zwischen fast periodischen Grenzyklen und scheinbar zufälligem Verhalten.
- Vorlage:Farbe Sie divergiert gegen Unendlich (bestimmte Divergenz).
Alle {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}}, die nicht bestimmt divergieren, gehören zu <math>\mathbb M.</math>
Die folgende Tabelle zeigt Beispiele für diese vier Grenzverhalten der Iteration <math>z_{n+1}=z_n^2+c</math> für <math>z_0=0\colon</math>
| Parameter <math>c = z_1</math> | Folgeglieder <math>z_2, z_3, z_4, z_5, \ \ldots</math> | Grenzverhalten |
|---|---|---|
| auf der reellen Achse … | ||
| <math>c= -3</math> | <math>6,\, 33,\, 1086,\, 1179393,\, \ldots</math> | bestimmte Divergenz gegen <math>+\infty</math> |
| <math>c= -2{,}1</math> | <math>2{,}31,\ \ 3{,}23...,\, 8{,}37...,\, 67{,}99...,\, \ldots</math> | bestimmte Divergenz gegen <math>+\infty</math> |
| <math>c= -2</math> | <math>2,\, 2,\, 2,\, 2,\, \ldots</math> | sofortige Konvergenz gegen Fixpunkt <math>2</math> |
| <math>c= -1{,}\overline{777}</math> | <math>\tfrac{112}{3^4},\, \tfrac{880}{3^8},\, -\tfrac{75753104}{3^{16}},\, \tfrac{2444274652120480}{3^{32}},\, \ldots</math> | Konvergenz gegen 12er-Grenzzyklus |
| <math>c= -1{,}75487766624669...</math> | <math>1{,}324717957244739...,\ \ 0,\ \ c,\, \ldots</math> | sofortige Konvergenz gegen Dreier-Grenzzyklus |
| <math>c= -1{,}75</math> | <math>\tfrac{21}{2^4},\, -\tfrac{7}{2^8},\, -\tfrac{114639}{2^{16}},\, \tfrac{5625907553}{2^{32}},\, \ldots</math> | Konvergenz gegen Dreier-Grenzzyklus <math>-1{,}74697...,\, 1{,}30193...,\, -0{,}054958...</math> |
| <math>c= -1{,}5</math> | <math>\tfrac{3}{2^2},\, -\tfrac{15}{2^4},\, -\tfrac{159}{2^8},\, -\tfrac{73023}{2^{16}},\, \ldots</math> | chaotisches Verhalten |
| <math>c= -1{,}4</math> | <math>\tfrac{14}{5^2},\, -\tfrac{679}{5^4},\, -\tfrac{85834}{5^8},\, -\tfrac{206255571319}{5^{16}},\, \ldots</math> | Konvergenz gegen 32er-Grenzzyklus |
| <math>c= -1{,}25</math> | <math>\tfrac{5}{2^4},\, -\tfrac{295}{2^8},\, \tfrac{5105}{2^{16}},\, -\tfrac{5342648095}{2^{32}} ,\, \ldots</math> | Konvergenz gegen alternierenden Grenzzyklus <math>-1{,}20710...,\, 0{,}20710...</math> |
| <math>c= -1</math> | <math>-1,\, 0,\, -1,\, 0,\, -1,\, 0,\, \ldots</math> | sofortige Konvergenz gegen alternierenden Grenzzyklus <math>-1,\, 0</math> |
| <math>c= -0{,}75</math> | <math>-\tfrac{3}{2^4}, \, -\tfrac{183}{2^8}, \, -\tfrac{15663}{2^{16}}, \, -\tfrac{2975895903
}{2^{32}}, \,\ldots</math> |
sehr langsame Konvergenz gegen Fixpunkt <math>-\tfrac12</math> |
| <math>c= -0{,}5</math> | <math>-\tfrac{1}{2^2},\, -\tfrac{7}{2^4},\, -\tfrac{79}{2^8},\, -\tfrac{26527}{2^{16}},\, \ldots</math> | Konvergenz gegen Fixpunkt <math>\tfrac12-\sqrt\tfrac34</math> |
| <math>c= -0{,}25</math> | <math>-\tfrac{3}{2^4},\, -\tfrac{55}{2^8},\, -\tfrac{13359}{2^{16}},\, -\tfrac{895278943}{2^{32}},\, \ldots</math> | Konvergenz gegen Fixpunkt <math>\tfrac12-\sqrt\tfrac12</math> |
| <math>c= 0</math> | <math>0,\, 0,\, 0,\, 0,\, 0,\, 0,\, \ldots</math> | sofortige Konvergenz gegen Fixpunkt <math>0</math> |
| <math>c= +0{,}25</math> | <math>\tfrac{5}{2^4},\, \tfrac{89}{2^8},\, \tfrac{24305}{2^{16}},\, \tfrac{1664474849}{2^{32}},\, \ldots</math> | Konvergenz gegen Fixpunkt <math>\tfrac12</math> |
| <math>c= +0{,}5</math> | <math>0{,}75, \ \ 1{,}06..., \, 1{,}62..., \, 3{,}15..., \, 10{,}44..., \,\ldots</math> | bestimmte Divergenz gegen <math>+\infty</math> |
| <math>c= +1</math> | <math>2, \, 5, \, 26, \, 677, \, 458330, \,\ldots</math> | bestimmte Divergenz gegen <math>+\infty</math> |
| in der komplexen Zahlenebene … | ||
| <math>c = \pm\mathrm i</math> | <math>-1\pm\mathrm i,\, \mp\mathrm i,\,\, -1\pm\mathrm i,\, \mp\mathrm i,\, \ldots</math> | sofortige Konvergenz gegen alternierenden Grenzzyklus <math>-1\pm\mathrm i,\, \mp\mathrm i</math> |
| <math>c = -\tfrac18 \pm \tfrac34 \mathrm i</math> | <math>-\tfrac{43}{2^6} \pm \tfrac{9}{2^4} \mathrm i, \, \tfrac{41}{2^{12}} \mp \tfrac{3}{2^9} \mathrm i,</math> <math>-\tfrac{2096047}{2^{24}} \pm \tfrac{786309}{2^{20}} \mathrm i,\ \ldots</math> |
Konvergenz gegen Dreier-Grenzzyklus <math>-0{,}67172034693846...\pm 0{,}562617290610738...\mathrm i,</math> <math>-0{,}12494063114981...\pm 0{,}749886996987263...\mathrm i,</math> <math>+0{,}00967000879695... \mp 0{,}005842963285242...\mathrm i</math> |
| <math>c = -0{,}12256116687665...</math> <math>\quad \pm 0{,}744861766619744... \mathrm i</math> |
<math>-0{,}662358978622373...</math> <math>\pm 0{,}5622795120623... \mathrm i, \ \ 0,\ \ c,\ \ldots</math> |
sofortige Konvergenz gegen Dreier-Grenzzyklus |
Geometrische Zuordnung
Konvergenz liegt genau für die Werte von <math>c</math> vor, die das Innere der Kardioide bilden, den „Körper“ von <math>\mathbb M,</math> sowie für abzählbar viele ihrer Randpunkte. Periodische Grenzzyklen finden sich in den (angenähert) kreisförmigen „Knospen“ wie im „Kopf“, in den Kardioiden der Satelliten sowie ebenfalls auf abzählbar vielen Randpunkten dieser Komponenten. Eine fundamentale Vermutung besagt, dass es für alle inneren Punkte der Mandelbrot-Menge einen Grenzzyklus gibt. Die Folge ist echt vorperiodisch für abzählbar viele Parameter, die oft Misiurewicz-Thurston-Punkte genannt werden (nach Michał Misiurewicz und William Thurston). Dazu gehören die „Antennenspitzen“ wie der Punkt <math>z=-2</math> ganz links und Verzweigungspunkte der Mandelbrot-Menge.
In den überabzählbar vielen übrigen Punkten der Mandelbrot-Menge kann sich die Folge auf viele verschiedene Weisen verhalten, die jeweils sehr unterschiedliche dynamische Systeme erzeugen und die teilweise Gegenstand intensiver Forschung sind. Je nach Definition des Wortes lässt sich „chaotisches“ Verhalten finden.
Periodisches Verhalten
Die kreisförmigen Strukturen
Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Satelliten-Kardioide zeichnet sich durch eine bestimmte Periodizität des Grenzzyklus aus, gegen den die Folge für die zugehörigen {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} strebt. Die Anordnung der „Knospen“ an der zugehörigen Kardioide folgt dabei den folgenden Regeln, aus denen sich unmittelbar die Periodizitäten ablesen lassen. Jede „Knospe“ berührt genau einen Basiskörper, nämlich eine größere „Knospe“ oder eine Kardioide.
Die Periodizität einer „Knospe“ ist die Summe der Periodizitäten der beiden nächsten größeren „Nachbarknospen“ in beide Richtungen am selben Basiskörper, sofern es solche gibt. Gibt es am Rand des Basiskörpers bis zur Kontaktstelle mit dessen Basiskörper oder bis zur Kerbe der Kardioide nur kleinere „Knospen“, so trägt anstelle der Periodizität einer „Nachbarknospe“ die des Basiskörpers selbst zur Summe bei. Daraus leiten sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften ab:
- Tendenziell sind die „Knospen“ oder Kardioiden umso kleiner, je größer ihre Periodizität ist.
- Die Periodizität der größten „Knospe“ an einem Basiskörper beträgt stets das Doppelte, wie der „Dutt“ mit der Periode 4 am „Kopf“.
- Die Periodizität einer „Knospe“ eines Satelliten ist das Produkt der Periodizität der Satelliten-Kardioide und der der korrespondierenden „Knospe“ der Hauptkardioide.
Ferner erklärt diese Regel das Auftreten bestimmter Folgen von „Knospen“ wie vom „Kopf“ zur Kardioidkerbe hin mit einer Periodizitätszunahme zur nächsten „Knospe“ hin um den Wert 1 oder vom „Arm“ zum „Kopf“ hin um den Wert 2.
Attraktive Zyklen
Gibt es für ein <math>c</math> ein Folgenglied mit der Eigenschaft <math>z_n=z_0=0,</math> so wiederholt sich die Folge von Anfang an streng periodisch und zwar mit der Periode <math>n.</math> Da sich <math>z_n</math> durch {{#if:trim|<math>n</math>-malige}} Anwendung der Iterationsvorschrift ergibt, wobei bei jedem Schritt quadriert wird, lässt es sich als Polynom von <math>c</math> vom Grad <math>2^{n-1}</math> formulieren. Die {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} für periodische Folgen der Periode <math>n</math> werden daher über die <math>2^{n-1}</math> Nullstellen dieses Polynoms erhalten. Es zeigt sich, dass jede Zahlenfolge gegen diesen Zahlenzyklus konvergiert, sofern eins ihrer Folgenglieder hinreichend nahe an diesen Zyklus gerät, die werden Attraktoren genannt. Das führt dazu, dass alle Zahlenfolgen zu einer gewissen Umgebung des {{#if:trim|<math>c</math>-Wertes}}, der den Attraktor repräsentiert, gegen einen stabilen Zyklus der Periode <math>n</math> konvergieren. Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Kardioide eines Satelliten repräsentiert genau eine solche Umgebung. Exemplarisch seien die Gebiete mit den Perioden 1 bis 3 aufgeführt:
- Periode 1: Die Kardioide des Hauptapfelmännchens. Der Rand dieser Kardioide ist gegeben durch Punkte der Form <math>c = \tfrac 12 z - \tfrac 14 z^2</math> mit <math>|z|=1.</math>
- Periode 2: Der „Kopf“. Die 2. Nullstelle <math>c=0</math> entspricht der Hauptkardioide, die wegen der Periode 1 natürlich bei der Ermittlung aller höherer Perioden als Nullstelle auftritt. Diese Überlegung zeigt, dass die Zahl der Attraktoren mit der Periode <math>n>1</math> maximal <math>2^{n-1}-1</math> betragen kann, und das nur dann, wenn <math>n</math> eine Primzahl ist. Der Kopf selbst ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt <math>-1</math> und Radius <math>\tfrac 14,</math> d. h., der Rand dieser Kreisscheibe ist gegeben durch Punkte der Form <math>c = -1 + \tfrac14 z</math> mit <math>|z|=1.</math>
- Periode 3: Die „Knospen“, die den „Armen“ entsprechen und die Kardioide des größten Satelliten auf der „Kopfantenne“. Die vierte Nullstelle <math>c=0</math> entfällt wieder.
Die Anzahl der anziehenden Zyklen mit der genauen Periode <math>n,</math> d. h. <math>z_n=z_0</math> und <math>n</math> ist minimal mit dieser Eigenschaft, ist die Folge A000740 in OEIS.
Repulsive Zyklen
Neben attraktiven Zyklen gibt es repulsive, die sich dadurch auszeichnen, dass Zahlenfolgen in ihrer Umgebung sich zunehmend von ihnen entfernen. Sie lassen sich jedoch erreichen, da jedes <math>z_n</math> abgesehen von der Situation <math>z_{n-1}=0</math> wegen des Quadrats in der Iterationsvorschrift zwei potenzielle Vorgänger in der Folge hat, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden. {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}}, für die die zugehörige Folge irgendwann über einen solchen zweiten Vorläufer eines Periodenmitgliedes in einen derartigen instabilen Zyklus mündet, sind beispielsweise die „Naben“ der rad- oder spiralförmigen Strukturen sowie die Endpunkte der weitverbreiteten antennenartigen Strukturen, die sich formal als „Naben“ von „Rädern“ oder Spiralen mit einer einzigen Speiche interpretieren lassen. Derartige {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} werden als Misiurewicz-Punkte bezeichnet.
Ein Misiurewicz-Punkt <math>c</math> hat ferner die Eigenschaft, dass <math>\mathbb M</math> in seiner näheren Umgebung nahezu deckungsgleich mit demselben Ausschnitt der zugehörige Julia-Menge <math>J_c</math> ist. Je weiter sich dem Misiurewicz-Punkt genähert wird, umso besser wird die Übereinstimmung. Da Julia-Mengen für {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} innerhalb von <math>\mathbb M</math> zusammenhängend sind und außerhalb von <math>\mathbb M</math> Cantor-Mengen aus unendlich vielen Inseln mit der Gesamtfläche null, sind sie in der Übergangszone am Rand von <math>\mathbb M</math> besonders filigran. Jeder Misiurewicz-Punkt ist aber gerade ein Randpunkt von <math>\mathbb M,</math> und jeder Ausschnitt der Randzone von <math>\mathbb M,</math> der sowohl Punkte in <math>\mathbb M</math> als auch außerhalb davon enthält, enthält unendlich viele davon. Damit ist der gesamte Formenreichtum sämtlicher Julia-Mengen dieses filigranen Typs in der Umgebung der Misiurewicz-Punkte in <math>\mathbb M</math> repräsentiert.
Satelliten
Ein weiteres Strukturelement, das den Formenreichtum der Mandelbrot-Menge begründet, sind die verkleinerten Kopien ihrer selbst, die sich in den filigranen Strukturen ihres Randes befinden. Dabei korrespondiert das Verhalten der Zahlenfolgen innerhalb eines Satelliten in folgender Weise mit dem der Folgen im Hauptkörper. Innerhalb eines Satelliten konvergieren alle Zahlenfolgen gegen Grenzzyklen, deren Perioden sich von denen an den entsprechenden Stellen im Hauptkörper von <math>\mathbb M</math> um einen Faktor <math>p</math> unterscheiden. Wird für einen bestimmten {{#if:trim|<math>c</math>-Wert}} aus dem Satelliten nur jedes {{#if:trim|<math>p</math>-te}} Folgenglied betrachtet, so ergibt sich eine Folge, die bis auf einen räumlichen Maßstabsfaktor nahezu identisch ist mit derjenigen, die sich für den entsprechenden {{#if:trim|<math>c</math>-Wert}} im Hauptkörper von <math>\mathbb M</math> ergibt. Die mathematische Begründung hierfür ist tiefliegend; sie entstammt den Arbeiten von Douady und Hubbard über „polynomartige Abbildungen“.
Die zusätzlichen Strukturelemente in der unmittelbaren Umgebung eines Satelliten sind eine Folge davon, dass zwischen zweien der betrachteten Folgenglieder mit dem Indexabstand <math>p</math> sich eines mit dem Wert <math>z_n=0</math> befinden kann, das damit einen periodischen Verlauf mit der Periode <math>n</math> begründet. Die entsprechende Folge außerhalb des Hauptkörpers divergiert jedoch, da sie keine solchen Zwischenglieder besitzt.
Es handelt sich bei der Mandelbrot-Menge selbst um eine universelle Struktur, die bei völlig anderen nichtlinearen Systemen und Klassifizierungsregeln in Erscheinung treten kann. Grundvoraussetzung ist jedoch, dass die beteiligten Funktionen winkeltreu sind. Werden solche Systeme betrachtet, die von einem komplexen Parameter <math>c</math> abhängen, und klassifiziert man ihr Verhalten bezüglich einer bestimmten Eigenschaft der Dynamik in Abhängigkeit von <math>c,</math> dann werden unter bestimmten Umständen in der Parameter-Ebene kleine Kopien der Mandelbrot-Menge gefunden. Ein Beispiel ist die Frage, für welche Polynome dritten Grades das iterative Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen mit einem bestimmten Startwert versagt und für welche nicht.
Wie im Bild kann die Mandelbrot-Menge dabei verzerrt auftreten, zum Beispiel sitzen dort die Armknospen an etwas anderer Stelle. Ansonsten ist die Mandelbrot-Menge jedoch vollkommen intakt, inklusive aller Knospen, Satelliten, Filamente und Antennen. Der Grund für das Auftauchen der Mandelbrot-Menge ist, dass die betrachtete Funktionenfamilien in bestimmten Gebieten – abgesehen von Drehungen und Verschiebungen – recht gut mit der Funktionenfamilie <math>\{f_c\colon z\mapsto z^2+c \mid c\in\Complex\},</math> welche die Mandelbrot-Menge definiert, übereinstimmen. Dabei sind in einem gewissen Rahmen Abweichungen zulässig, und trotzdem kristallisiert sich die Mandelbrot-Menge heraus. Dieses Phänomen wird als strukturelle Stabilität bezeichnet und ist im Endeffekt verantwortlich für das Auftreten der Satelliten in der Umgebung von <math>\mathbb M,</math> weil Teilfolgen der iterierten Funktionen lokal das gleiche Verhalten zeigen wie die Gesamtfamilie.
Intermediär wechselhaftes Verhalten
Durch die Möglichkeit der Zahlenfolge, wiederholt in die unmittelbare Umgebung eines repulsiven Zyklus zu geraten, und bei dem anschließend tendenziell divergenten oder chaotischen Verhalten wiederum beinahe in einen anderen Zyklus zu geraten, können sich intermediär sehr komplizierte Verhaltensweisen der Folge ausbilden, bis sich der endgültige Charakter der Folge zeigt, wie die beiden Abbildungen demonstrieren. Die Umgebung der zugehörigen {{#if:trim|<math>c</math>-Werte}} in <math>\mathbb M</math> ist entsprechend strukturreich.
Die Darstellung der Folgepunkte selbst in der komplexen Ebene zeigt in diesen Fällen eine größere Komplexität. Das quasiperiodische Verhalten in der Nachbarschaft eines repulsiven Zyklus führt in diesen Fällen oft zu spiralförmigen Strukturen mit mehreren Armen, wobei die Folgepunkte das Zentrum umkreisen, während der Abstand zu ihm zunimmt. Die Anzahl der Arme entspricht daher der Periode. Die Punktanhäufungen an den Enden der Spiralarme in der zweiten Abbildung sind die Folge der beiden zugehörigen Beinahe-Einfänge durch repulsive (instabile) Zyklen.
Dichteverteilung der Folgenglieder
Das Bild zeigt in der komplexen Ebene die Dichteverteilung der Folgenglieder, die sich durch Auswertung von 60 Millionen Folgen ergibt, wobei die Helligkeit ein Maß dafür ist, wie viele Orbitale durch den Punkt verlaufen. Blaue Bereiche kennzeichnen Folgenglieder mit kleinem Index, während eine gelbliche Färbung Folgenglieder mit hohen Indizes anzeigt. Folgen aus der großen Kardioide der Mandelbrot-Menge tendieren zu einer Konvergenz zu einem <math>c</math>-Wert auf einem Kreis um den Ursprung, der als runder Bereich mit sehr hoher Dichte zu erkennen ist. Die kleineren Gebilde nahe der imaginären Achse markieren die konjugierten Bereiche, zwischen denen Folgenglieder vieler Folgen hin und her springen (Annäherung an einen Grenzzyklus mit der Periode 2 für große Folgenindizes).
Praktische Berechnung
Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge und ihrer Strukturen im Randbereich ist nur mittels Computer durch sogenannte Fraktalgeneratoren möglich. Dabei entspricht jeder Bildpunkt einer Zahl <math>c</math> der komplexen Ebene. Der Computer ermittelt für alle Bildpunkte, ob die zugehörigen Folgen divergieren oder nicht. Sobald der Betrag <math>|z_n|</math> eines Folgengliedes die Fluchtgrenze <math>s = 2</math> überschreitet, ist klar, dass die Folge divergiert; die Iterationszahl <math>n</math> kann als Maß für den Divergenzgrad dienen. Die Bildpunkte werden nach einer Farbtabelle eingefärbt, die jeder Iterationszahl eine Farbe zuordnet.
Für harmonische Farbübergänge wird in der Praxis ein Fluchtradius <math>r > 2</math> gewählt, da andernfalls die Breite der Farbstreifen zu sehr oszilliert. Je größer der Fluchtradius gewählt wird, desto besser entsprechen die Farbgrenzen den Äquipotentiallinien, die sich ergeben, wenn die Mandelbrot-Menge als elektrisch geladener Leiter interpretiert wird. Für kontinuierliche Farbverläufe, wie in der obigen Galerie einer Zoomfahrt, ist es erforderlich, entweder die genaue Fluchtzeit <math>t</math> zu ermitteln, bei der der Fluchtradius <math>r</math> gerade erreicht wird, oder den Abstand <math>d</math> zum Rand der Menge abzuschätzen.
Da die Anzahl der Iterationsschritte <math>n,</math> nach der die Fluchtgrenze <math>s = 2</math> überschritten wird, beliebig groß sein kann, muss als Abbruchkriterium eine maximale Iterationszahl <math>n_\text{max}</math> festgelegt werden. Alle Zahlen <math>c,</math> deren Folgen danach einen Fluchtradius <math>r > 2</math> noch nicht erreicht haben, werden zur Menge <math>\mathbb M</math> gezählt. Je geringer der Abstand von <math>c</math> zum Rand der Menge ist, desto größer ist in der Regel die Iterationszahl <math>n,</math> bei der <math>r</math> erreicht oder überschritten wird. Je stärker die Vergrößerung ist, mit der der Rand dargestellt wird, desto größer muss die maximale Iterationszahl <math>n_\text{max}</math> gewählt werden, und umso mehr Rechenzeit ist nötig.
In den 1980er Jahren nahmen Berechnungen beim damaligen Stand der Technik viel Zeit in Anspruch. So schafften Computer mit einem Intel-8087-Koprozessor im Jahr 1980 bei einer Taktfrequenz von 5 MHz nur 50 kFLOPS. Im Jahr 2000 erreichten PCs mit einem Pentium-4-Prozessor bei einer Taktfrequenz von 1,5 GHz und durchgängiger Nutzung der SSE-Einheit bereits 6 GFLOPS. Grafikkarten der GeForce-30-Serie leisten im Jahr 2020 bis zu 36 TFLOPS. Berechnungen, die im Jahr 2020 auf einer GPU nur eine Sekunde dauern, benötigten im Jahr 2000 noch 100 Minuten und im Jahr 1980 sogar 200 000 Stunden.<ref group="A">Die Angaben zur Rechenleistung beziehen sich auf Gleitkommazahlen mit einfacher Genauigkeit. Bei doppelter Genauigkeit sind sie um den Faktor 2 geringer, bei Consumer-Grafikkarten sogar um einen Faktor 16 bis 64.</ref>
Ein erheblicher Teil der Rechenzeit wird dort benötigt, wo die Zahlenfolge nicht divergiert. Deshalb versuchte man, die Rechenzeit an diesen Stellen durch verschiedene Verfahren zu verkürzen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Berechnung abzubrechen, sobald die Zahlenfolge konvergiert oder in einem periodischen Zyklus gefangen ist. Andere Methoden nutzen das Teile-und-herrsche-Verfahren und das Maximumprinzip, um den Zeichenbereich in möglichst große Rechtecke einer einzigen Farbe zu zerlegen und dabei nur die Randpunkte zu berechnen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Arnaud Chéritat|Arnaud Chéritat: }}{{#if:|{{#if:Interior detection methods|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Interior detection methods}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Interior detection methods}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Interior detection methods}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:math.univ-toulouse.fr2016{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods}}%7C%7C}}}}{{#if:Interior detection methods|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Interior detection methods|lines=0}}||}}}}{{#if: math.univ-toulouse.fr| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=math.univ-toulouse.fr}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2016|,|{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2016| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2016|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2016|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2016|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2016|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2026-03-27|;}}}}{{#if: 2026-03-27| {{#if:2016{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2026-03-27 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2026-03-27|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2026-03-27|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:math.univ-toulouse.fr2016{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2016{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods | {{#if: | [7] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods | {{#if: | [8] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#Interior_detection_methods }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Rico Mariani|Rico Mariani: }}{{#if:|{{#if:The Mariani-Silver Algorithm for Drawing the Mandelbrot Set|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The Mariani-Silver Algorithm for Drawing the Mandelbrot Set}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The Mariani-Silver Algorithm for Drawing the Mandelbrot Set}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The Mariani-Silver Algorithm for Drawing the Mandelbrot Set}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:medium.com2021{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6}}%7C%7C}}}}{{#if:The Mariani-Silver Algorithm for Drawing the Mandelbrot Set|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=The Mariani-Silver Algorithm for Drawing the Mandelbrot Set|lines=0}}||}}}}{{#if: medium.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=medium.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2021|,|{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2021| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2021|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2021|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2021|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2021|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2026-03-27|;}}}}{{#if: 2026-03-27| {{#if:2021{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2026-03-27 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2026-03-27|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2026-03-27|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:medium.com2021{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2021{{#if: 2026-03-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 | {{#if: | [9] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 | {{#if: | [10] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://ricomariani.medium.com/the-mariani-silver-algorithm-for-drawing-the-mandelbrot-set-a71e31bc20b6 }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Randes von <math>\mathbb M</math> mit seinem Formenreichtum. Je stärker die gewählte Vergrößerung ist, umso komplexere Strukturen lassen sich dort finden. Mit entsprechenden Computerprogrammen lässt sich dieser Rand wie mit einem Mikroskop mit beliebiger Vergrößerung darstellen. Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind häufig Vergrößerungen erforderlich, die mit hardwareunterstützten Datentypen aufgrund deren limitierter Genauigkeit nicht berechnet werden können. Manche Programme enthalten daher Langzahlarithmetik-Datentypen mit beliebig wählbarer Genauigkeit. Damit sind (fast) beliebige Vergrößerungsfaktoren möglich.
Interpolation und Distanzschätzung
Wenn der Fluchtradius <math>r</math> groß genug ist, kann zur Ermittlung der Fluchtzeit <math>t</math> anstelle der eigentlichen Folge <math>z_{n+1} = z_n^2+c</math> mit <math>z_0 = 0</math> die vereinfachte Folge <math>z_{n+1} = z_n^2+0</math> mit <math>z_0 = c</math> betrachtet werden. Die ersten Folgenglieder sind dann <math>z_0 = c,</math> <math>z_1 = c^2\!,</math> <math>z_2 = c^4</math> und <math>z_3 = c^8\!,</math> ganz allgemein ergibt sich <math>z_n = c^{2^n}\!.</math> Betrachtet man eine Iterationszahl <math>n,</math> bei der die Folge einen Fluchtradius <math>r \gg 2</math> erreicht oder überschreitet, so gilt <math>|z_n| = |c|^{2^n} \geq r</math> und <math>n = \log_2(\tfrac{\ln|z_n|}{\ln|c|}).</math> Bestimmt man nun die Fluchtzeit <math>t \leq n</math> aus der Interpolation <math>|c|^{2^t} = r,</math> so ergibt sich mit <math>t = \log_2(\tfrac{\ln r}{\ln|c|})\colon</math><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Inigo Quilez|Inigo Quilez: }}{{#if:|{{#if:Continuous iteration count|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Continuous iteration count}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://iquilezles.org/articles/msetsmooth%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Continuous iteration count}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://iquilezles.org/articles/msetsmooth}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Continuous iteration count}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:iquilezles.org2007{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://iquilezles.org/articles/msetsmooth%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://iquilezles.org/articles/msetsmooth}}%7C%7C}}}}{{#if:Continuous iteration count|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Continuous iteration count|lines=0}}||}}}}{{#if: iquilezles.org| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=iquilezles.org}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2007|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2007| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2007|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2007|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2007|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2007|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:2007{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:iquilezles.org2007{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2007{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://iquilezles.org/articles/msetsmooth | {{#if: | [11] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/msetsmooth | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/msetsmooth}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://iquilezles.org/articles/msetsmooth Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/msetsmooth | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/msetsmooth}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://iquilezles.org/articles/msetsmooth }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://iquilezles.org/articles/msetsmooth | {{#if: | [12] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/msetsmooth | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/msetsmooth}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://iquilezles.org/articles/msetsmooth Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/msetsmooth | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/msetsmooth}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://iquilezles.org/articles/msetsmooth }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref>{{#if:2014-06-18|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Jussi Härkönen|Jussi Härkönen: }}{{#if:https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7C{{#if:On Smooth Fractal Coloring Techniques|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=On Smooth Fractal Coloring Techniques}}]{{#if:PDF; 14 MB| (PDF; 14 MB)}}{{#if:The Smooth Iteration Count Coloring| The Smooth Iteration Count Coloring{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=The Smooth Iteration Count Coloring}}}}}}|{{#if:http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C1}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=On Smooth Fractal Coloring Techniques}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=On Smooth Fractal Coloring Techniques}}}}]}}{{#if:PDF; 14 MB| (PDF; 14 MB{{#if:The Smooth Iteration Count Coloring1jussiharkonen.com200714–26https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:The Smooth Iteration Count Coloring| The Smooth Iteration Count Coloring{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=The Smooth Iteration Count Coloring}}}}}}}}{{#if:http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf}}%7C%7C}}}}{{#if:On Smooth Fractal Coloring Techniques|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=On Smooth Fractal Coloring Techniques|lines=0}}||}}}}{{#if: jussiharkonen.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=jussiharkonen.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 200714–26https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7C,%7C{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2007| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2007|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2007|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2007|class=Zitationswartung}} }}{{#if: 14–26https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7C,%7C{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 14–26| S. 14–26{{#if: https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7C,%7C{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C1}}%7C+{{#if:14–262007%7C{{#if:https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7Carchiviert%7Cehemals}}%7C{{#if:https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7CArchiviert%7CEhemals}}}}+{{#if:https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7Cvom%7Cim}}+Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: 2014-06-18| am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|2014-06-18{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:14–262007https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C1}}%7Cabgerufen%7CAbgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:The Smooth Iteration Count Coloring1jussiharkonen.com200714–26https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if:PDF; 14 MB | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 200714–26https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}|{{#if:https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7C%7C{{#ifeq: 1 | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf | {{#if: | [13] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf | {{#if: | [14] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques%28lo-res%29.pdf }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:https://web.archive.org/web/20140618000747/http://jussiharkonen.com/files/on_fractal_coloring_techniques(lo-res).pdf%7CVorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
- <math>n-t = \log_2(\tfrac{\ln|z_n|}{\ln|c|}) - \log_2(\tfrac{\ln r}{\ln|c|}) = \log_2(\tfrac{\ln|z_n|}{\ln r}).</math><ref group="A">Die Folge <math>z_{n+1} = z_n^2+c</math> wächst für <math>|z_n| \ge r \gg 2</math> wie eine einfache Folge <math>z_{n+1}' = z_n'\!^2+0.</math> Der genaue Anfangswert <math>z_0' = c'</math> mit <math>|c'| = |z_n|^{1/2^n}</math> verschwindet jedoch aus der Differenz <math>n-t</math> und ist daher ohne Bedeutung.</ref>
Für <math>|z_n(c)| \geq r \gg 2</math> erhält man die Fluchtzeit <math>t(c) = n - \log_2(\tfrac{\ln|z_n(c)|}{\ln r})</math> aus einer Korrektur (Normalisierung) der Iterationszahl <math>n.</math> Die äquivalente Gleichung <math>\tfrac{1}{2^n} \ln|z_n(c)| = 2^{-t(c)} \ln r</math> weist auf die enge Beziehung der Potentialfunktionen <math>\Phi_n(c) = \tfrac{1}{2^n} \ln|z_n(c)|</math> und <math>\Psi_r(c) = 2^{-t(c)} \ln r</math> hin. Häufig wird das Potential als Grenzwert <math>V(c) = \lim_{n \to \infty} \Phi_n(c)</math> definiert; die Potentialfunktion <math>\Psi_e(c) = 2^{-t(c)}</math> zur Eulerschen Zahl mit <math>\ln e = 1</math> wird als Greensches Potential <math>G(c) = e^{-t(c) \ln 2}</math> bezeichnet.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Arnaud Chéritat|Arnaud Chéritat: }}{{#if:|{{#if:The potential|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The potential}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The potential}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The potential}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:math.univ-toulouse.fr2016{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential}}%7C%7C}}}}{{#if:The potential|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=The potential|lines=0}}||}}}}{{#if: math.univ-toulouse.fr| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=math.univ-toulouse.fr}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2016|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2016| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2016|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2016|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2016|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2016|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:2016{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:math.univ-toulouse.fr2016{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2016{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential | {{#if: | [15] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential | {{#if: | [16] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set#The_potential }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref name="tecnote">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Kees van den Doel|Kees van den Doel: }}{{#if:|{{#if:Notes on Mandelbrot set (Draft)|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Notes on Mandelbrot set (Draft)}}]{{#if:PDF; 0,2 MB| (PDF; 0,2 MB)}}{{#if:Basics, Complex differentiation| Basics, Complex differentiation{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Basics, Complex differentiation}}}}}}|{{#if:https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Notes on Mandelbrot set (Draft)}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Notes on Mandelbrot set (Draft)}}}}]}}{{#if:PDF; 0,2 MB| (PDF; 0,2 MB{{#if:Basics, Complex differentiationpersianney.com20181–2, 4–5{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:Basics, Complex differentiation| Basics, Complex differentiation{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Basics, Complex differentiation}}}}}}}}{{#if:https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf}}%7C%7C}}}}{{#if:Notes on Mandelbrot set (Draft)|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Notes on Mandelbrot set (Draft)|lines=0}}||}}}}{{#if: persianney.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=persianney.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 20181–2, 4–5|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2018| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2018|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2018|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2018|class=Zitationswartung}} }}{{#if: 1–2, 4–5|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 1–2, 4–5| S. 1–2, 4–5{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:1–2, 4–52018|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:1–2, 4–52018{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:Basics, Complex differentiationpersianney.com20181–2, 4–5{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if:PDF; 0,2 MB | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 20181–2, 4–5{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf | {{#if: | [17] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf | {{#if: | [18] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://persianney.com/fractal/fractalNotes.pdf }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
Nähert sich <math>c</math> dem Rand der Menge, so wird das Potential immer kleiner und erreicht am Rand den Grenzwert null. Daher kann der kürzeste Vektor <math>\vec v</math> vom Punkt <math>c</math> zum Rand näherungsweise aus der Gleichung <math>\Phi_n(c) + \vec v \cdot \nabla \Phi_n(c) = 0</math> durch ein Skalarprodukt mit dem Gradientenvektor <math>\vec u = \nabla \Phi_n(c)</math> ermittelt werden. Man erhält so eine Lösung <math>\vec v</math> mit der Länge <math>|\vec v| = \tfrac{\Phi_n(c)}{|\nabla \Phi_n(c)|} = \tfrac{\ln|z_n(c)|}{|\nabla \ln|z_n(c)||}.</math> Aus <math>\nabla \ln|z_n(c)| = \tfrac{1}{|z_n(c)|} \nabla |z_n(c)|</math> und <math>|\nabla |z_n(c)|| = |\tfrac{\partial z_n}{\partial z}(c)| = |z_n'(c)|</math> folgt die Distanzformel:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Inigo Quilez|Inigo Quilez: }}{{#if:|{{#if:Computing the SDF of fractals|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Computing the SDF of fractals}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://iquilezles.org/articles/distancefractals%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Computing the SDF of fractals}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://iquilezles.org/articles/distancefractals}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Computing the SDF of fractals}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:iquilezles.org2004{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://iquilezles.org/articles/distancefractals%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://iquilezles.org/articles/distancefractals}}%7C%7C}}}}{{#if:Computing the SDF of fractals|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Computing the SDF of fractals|lines=0}}||}}}}{{#if: iquilezles.org| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=iquilezles.org}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2004|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2004| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2004|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2004|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2004|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2004|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:2004{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:iquilezles.org2004{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2004{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://iquilezles.org/articles/distancefractals | {{#if: | [19] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/distancefractals | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/distancefractals}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://iquilezles.org/articles/distancefractals Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/distancefractals | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/distancefractals}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://iquilezles.org/articles/distancefractals }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://iquilezles.org/articles/distancefractals | {{#if: | [20] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/distancefractals | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/distancefractals}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://iquilezles.org/articles/distancefractals Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://iquilezles.org/articles/distancefractals | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://iquilezles.org/articles/distancefractals}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://iquilezles.org/articles/distancefractals }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref name="tecnote" />
- <math>d_n(c) = \tfrac{\ln|z_n(c)|}{|\nabla \ln|z_n(c)||} = \ln|z_n(c)| : |\tfrac{z_n'(c)}{z_n(c)}| = \ln|z_n(c)| \cdot |\tfrac{z_n(c)}{z_n'(c)}|.</math><ref group="A">Die Division durch <math>z_n(c)</math> und <math>z_n'(c)</math> ist im Außenbereich <math>|z_n| > 2</math> immer möglich, da alle Nullstellen von <math>z_n</math> und <math>z_n'</math> im Innenbereich <math>|z_n| \leq 2</math> liegen (vgl. die Sätze von Gauß-Lucas und Jensen).</ref>
Die ersten Polynome sind <math>z_0(c) = 0,</math> <math>z_1(c) = c,</math> <math>z_2(c) = c^2+c</math> und <math>z_3(c) = (c^2+c)^2+c,</math> die zugehörigen Ableitungen sind <math>z_0'(c) = 0,</math> <math>z_1'(c) = 1,</math> <math>z_2'(c) = 2c+1</math> und <math>z_3'(c) = 2(c^2+c)(2c+1)+1.</math> Alle weiteren Folgenglieder ergeben sich aus der Iterationsvorschrift <math>z_{n+1}(c) = z_n^2(c)+c</math> und der Ableitungsregel <math>z_{n+1}'(c) = 2z_n(c)z_n'(c)+1.</math>
Um die Distanzformel einzusehen, kann wieder die vereinfachte Folge <math>z_{n+1}=z_n^2+0</math> mit <math>z_0 = c</math> betrachtet werden. Die zugehörige Julia-Menge ist genau der Rand des Einheitskreises, und mit <math>z_n = c^{2^n}</math> und <math>z_n' = 2^n c^{2^n-1}</math> ergibt sich
- <math>d_n = \ln|c^{2^n}| \cdot |\tfrac{c^{2^n}}{2^n c^{2^n-1}}| = 2^n \ln|c| \cdot |\tfrac{c}{2^n}| = \ln|c| \cdot |c|,</math>
was in der Nähe des Einheitskreises eine gute Näherung für den Abstand <math>d = |c| - 1</math> zum Rand ist: <math>|c| = 1{,}1</math> ergibt <math>d_n = \ln(1{,}1) \cdot 1{,}1 \approx 0{,}1</math> und <math>|c| = 1{,}01</math> ergibt <math>d_n = \ln(1{,}01) \cdot 1{,}01 \approx 0{,}01.</math> Wenn der wirkliche Abstand zum Rand gleich <math>d</math> ist, so ergibt die Distanzformel den Wert
- <math>d_n = \ln|z_n| \cdot |\tfrac{z_n}{z_n'}| \approx \ln(1+d) \cdot (1+d) \approx d.</math>
Es stimmt aber nicht, dass der Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} d_n</math> gegen den wirklichen Abstand <math>d</math> konvergiert, tatsächlich gelten nur schwächere Ungleichungen. Die Abschätzung kann mithilfe der lambertschen W-Funktion jedoch etwas verbessern werden, und mit <math>W(d_n) \approx \ln(1+d)</math> erhält man:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Mikael Hvidtfeldt Christensen|Mikael Hvidtfeldt Christensen: }}{{#if:|{{#if:Distance Estimated 3D Fractals (V): The Mandelbulb & Different DE Approximations|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Distance Estimated 3D Fractals (V): The Mandelbulb & Different DE Approximations}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:The potential gradient approximation| The potential gradient approximation{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=The potential gradient approximation}}}}}}|{{#if:http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Distance Estimated 3D Fractals (V): The Mandelbulb & Different DE Approximations}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Distance Estimated 3D Fractals (V): The Mandelbulb & Different DE Approximations}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:The potential gradient approximationblog.hvidtfeldts.net2011{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:The potential gradient approximation| The potential gradient approximation{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=The potential gradient approximation}}}}}}}}{{#if:http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/}}%7C%7C}}}}{{#if:Distance Estimated 3D Fractals (V): The Mandelbulb & Different DE Approximations|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Distance Estimated 3D Fractals (V): The Mandelbulb & Different DE Approximations|lines=0}}||}}}}{{#if: blog.hvidtfeldts.net| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=blog.hvidtfeldts.net}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2011|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2011| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2011|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2011|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2011|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2011|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:2011{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:The potential gradient approximationblog.hvidtfeldts.net2011{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2011{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ | {{#if: | [21] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ | {{#if: | [22] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/09/distance-estimated-3d-fractals-v-the-mandelbulb-different-de-approximations/ }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Yumei Dang, Louis Kauffman, Daniel Sandin|Yumei Dang, Louis Kauffman, Daniel Sandin: }}{{#if:|{{#if:Hypercomplex Iterations, Distance Estimation and Higher Dimensional Fractals|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Hypercomplex Iterations, Distance Estimation and Higher Dimensional Fractals}}]{{#if:PDF; 4,1 MB| (PDF; 4,1 MB)}}{{#if:Distance Estimation in Complex Space| Distance Estimation in Complex Space{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Distance Estimation in Complex Space}}}}}}|{{#if:https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Hypercomplex Iterations, Distance Estimation and Higher Dimensional Fractals}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Hypercomplex Iterations, Distance Estimation and Higher Dimensional Fractals}}}}]}}{{#if:PDF; 4,1 MB| (PDF; 4,1 MB{{#if:Distance Estimation in Complex Spaceevl.uic.edu200213–29{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:Distance Estimation in Complex Space| Distance Estimation in Complex Space{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Distance Estimation in Complex Space}}}}}}}}{{#if:https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf}}%7C%7C}}}}{{#if:Hypercomplex Iterations, Distance Estimation and Higher Dimensional Fractals|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Hypercomplex Iterations, Distance Estimation and Higher Dimensional Fractals|lines=0}}||}}}}{{#if: evl.uic.edu| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=evl.uic.edu}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 200213–29|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2002| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2002|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2002|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2002|class=Zitationswartung}} }}{{#if: 13–29|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 13–29| S. 13–29{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:13–292002|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:13–292002{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:Distance Estimation in Complex Spaceevl.uic.edu200213–29{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if:PDF; 4,1 MB | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 200213–29{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf | {{#if: | [23] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf | {{#if: | [24] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/book/book.pdf }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
- <math>d_n \approx \ln(1+d) e^{\ln(1+d)} \iff d \approx e^{W(d_n)} - 1.</math>
Deep Zoom und Störungsrechnung
Prozessoren unterstützen in Hardware die Berechnung mit typischerweise 32-bit- und 64-bit-Gleitkommazahlen. Dies ermöglicht es, in die Mandelbrot-Menge etwa um den Faktor 1012 bis 1013 hineinzuzoomen, bevor benachbarte Pixel keine unterschiedlichen Startwerte <math>c</math> mehr annehmen können (und damit Fehler durch Blockartefakte offensichtlich werden).
Ab diesem Punkt reicht die Genauigkeit der in Hardware implementierten Arithmetik nicht mehr aus. Man ist gezwungen, auf in Software implementierte Routinen für hochgenaue Arithmetik auszuweichen, was bei aktuellen Prozessoren zu einem immensen Geschwindigkeitseinbruch führt.
Man kann diesen deutlich durch Nutzen von Störungsrechnung reduzieren. Dazu wird ein (möglichst nicht divergenter) Referenzpunkt <math>c</math> in hochgenauer Arithmetik durchgerechnet und die zugehörige Referenzserie <math>z_n</math> in einfacher oder doppelter Genauigkeit aufgezeichnet:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Phil Thompson|Phil Thompson: }}{{#if:|{{#if:Perturbation Theory and the Mandelbrot set|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Perturbation Theory and the Mandelbrot set}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Perturbation Theory and the Mandelbrot set}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Perturbation Theory and the Mandelbrot set}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:philthompson.me2022{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Perturbation Theory and the Mandelbrot set|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Perturbation Theory and the Mandelbrot set|lines=0}}||}}}}{{#if: philthompson.me| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=philthompson.me}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2022|,|{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2022| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2022|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2022|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2022|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2022|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-06-21|;}}}}{{#if: 2025-06-21| {{#if:2022{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-06-21 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-06-21|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-06-21|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:philthompson.me2022{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2022{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html | {{#if: | [25] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html | {{#if: | [26] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://philthompson.me/2022/Perturbation-Theory-and-the-Mandelbrot-set.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Robert P. Munafo|Robert P. Munafo: }}{{#if:|{{#if:Derivative Extrapolation|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Derivative Extrapolation}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Derivative Extrapolation}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Derivative Extrapolation}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:mrob.com2023{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Derivative Extrapolation|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Derivative Extrapolation|lines=0}}||}}}}{{#if: mrob.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mrob.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2023|,|{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2023| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2023|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2023|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2023|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2023|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-06-21|;}}}}{{#if: 2025-06-21| {{#if:2023{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-06-21 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-06-21|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-06-21|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:mrob.com2023{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2023{{#if: 2025-06-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html | {{#if: | [27] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html | {{#if: | [28] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency/derivativeextrapolation.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
- <math>z_0,\ z_1,\ z_2,\ z_3, \ldots, z_n.</math>
Für in der direkten Nähe liegende Punkte <math>c' = c + \delta</math> würde sich die Serie <math>z_n'</math> ergeben:
- <math>z_0',\ z_1',\ z_2',\ z_3', \ldots, z_n'.</math><ref group="A">Hier bezeichnet der Strich nicht die Ableitung, sondern die abweichende Serie <math>z_n' = z_n + \varepsilon_n.</math></ref>
Man will nun die Abweichung <math>\varepsilon_n = z_n' - z_n</math> indirekt ermitteln, um die direkte Berechnung der Serie <math>z_n'</math> zu vermeiden. Dabei gilt:
- <math>z_{n+1} = z_n^2\ + c\ </math> für die Berechnung des Referenzpunktes und
- <math>z_{n+1}' = z_n'\!^2 + c'\ </math> mit <math>z_{n+1}' = z_{n+1} + \varepsilon_{n+1}</math> und <math>z_n' = z_n + \varepsilon_n</math> für die Berechnung des Nachbarpunktes.
Setzt man ein, ergibt sich
- <math>z_{n+1} + \varepsilon_{n+1} = z_{n+1}' = z_n'\!^2 + c' = z_n'\!^2 + (c + \delta) = (z_n + \varepsilon_n)^2 + (c + \delta).</math>
Man betrachtet die beiden äußeren Terme
- <math>z_{n+1}\quad + \varepsilon_{n+1} = (z_n + \varepsilon_n)^2 + (c + \delta)\ </math> und multipliziert aus
- <math>z_{n+1}\quad + \varepsilon_{n+1} = (z_n^2 + 2z_n \varepsilon_n + \varepsilon_n^2) + (c + \delta)\ </math> und setzt <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math>
- <math>z_n^2\ + c + \varepsilon_{n+1} = (z_n^2 + 2z_n \varepsilon_n + \varepsilon_n^2) + (c + \delta)\ </math> und löst die Klammern auf und kürzt
- <math>\!\cancel{z_n^2}\! + \!\cancel{c}\! + \varepsilon_{n+1} = \!\cancel{z_n^2}\! + 2z_n \varepsilon_n + \varepsilon_n^2 + \!\cancel{c}\! + \delta\ </math> und erhält
- <math>\varepsilon_{n+1} \quad = \quad 2z_n \varepsilon_n + \varepsilon_n^2 + \delta.</math>
Wegen <math>z_0 = 0</math> und <math>z_0' = 0</math> ist auch <math>\varepsilon_0 = z_0' - z_0 = 0.</math> Mit der abgespeicherten Referenzserie <math>z_n</math> können die Abweichungen <math>\varepsilon_n</math> der Reihe nach berechnet werden:
- <math>\varepsilon_1 \quad = \quad 2z_0 \varepsilon_0 + \varepsilon_0^2 + \delta = \delta,</math>
- <math>\varepsilon_2 \quad = \quad 2z_1 \varepsilon_1 + \varepsilon_1^2 + \delta,</math>
- <math>\varepsilon_3 \quad = \quad 2z_2 \varepsilon_2 + \varepsilon_2^2 + \delta,</math>
- <math>\ \vdots</math>
- <math>\varepsilon_n \quad = \quad 2z_{n-1} \varepsilon_{n-1} + \varepsilon_{n-1}^2 + \delta.</math>
Solange diese Terme klein bleiben, verhält sich <math>z_n' = z_n + \varepsilon_n</math> ähnlich wie <math>z_n.</math> Insbesondere bleibt die Serie <math>z_n'</math> beschränkt, wenn die Referenzserie <math>z_n</math> und die Abweichungen <math>\varepsilon_n</math> beschränkt sind. Wenn die Abweichungen jedoch zu groß werden, kann das zu Fehlern in der Darstellung (Glitches) führen. Im Prinzip kann man dann auf einen günstigeren Referenzpunkt innerhalb der Referenzserie ausweichen: Liegt ein Punkt <math>z = z_n + \varepsilon_n</math> näher am Referenzpunkt <math>z_m</math> als am aktuellen Referenzpunkt <math>z_n,</math> so kann er auch durch <math>z = z_m + \varepsilon_m</math> dargestellt und die Abweichung aus der Differenz <math>\varepsilon_m = z - z_m</math> berechnet werden. Allerdings verliert man bei einer solchen Subtraktion aufgrund der Auslöschung die notwendige Genauigkeit. Nur beim ersten Referenzpunkt <math>z_m = z_0 = 0</math> passiert das nicht, und die Abweichung ergibt sich zu <math>\varepsilon_m = z - 0 = z.</math> Man kann somit die Referenzserie zurücksetzen, wenn <math>|z| < |\varepsilon_n|</math> gilt, d. h. wenn der Abstand von <math>z</math> zu <math>z_0</math> kleiner als der Abstand von <math>z</math> zu <math>z_n</math> ist. Dieses gelegentliche Zurücksetzen der Referenzserie (Rebasing) hält die Abweichungen so klein wie möglich.
- Praktische Anwendung
Das Programm „Kalles Fraktaler“ basiert auf diesem Ansatz, und die bilineare Approximation ermöglicht noch leistungsfähigere Fraktalgeneratoren. Die Iterationsvorschrift <math>\varepsilon_{n+1} = (2z_n + \varepsilon_n) \cdot \varepsilon_n + \delta</math> lässt sich linearisieren, wenn <math>|\varepsilon_n| \ll |z_n|</math> gilt, d. h. wenn <math>\varepsilon_n</math> viel kleiner als <math>z_n</math> ist und man <math>\varepsilon_n</math> in der Summe <math>2z_n + \varepsilon_n</math> vernachlässigen kann.<ref group="A">Liegt der Quotient <math>|\varepsilon_n| / |2z_n|</math> unterhalb der Maschinengenauigkeit, dann ist der Rundungsfehler bei der Addition von <math>\varepsilon_n</math> genauso groß wie der Fehler durch die Linearisierung.</ref> Benachbarte Linearisierungen <math>\varepsilon_{n+1} = 2z_n \varepsilon_n + \delta,</math> <math>\varepsilon_{n+2} = 2z_{n+1} \varepsilon_{n+1} + \delta,</math> <math>\ldots,</math> <math>\varepsilon_{n+k} = 2z_{n+k-1} \varepsilon_{n+k-1} + \delta</math> lassen sich zur bilinearen Gleichung <math>\varepsilon_{n+k} = a_{n,k} \varepsilon_n + b_{n,k} \delta</math> zusammenfassen.<ref group="A">Diese Idee lässt sich auf die Ableitungen <math>z_{n+1}' = 2z_n z_n'+1</math> und <math>z_{n+1}' + \varepsilon_{n+1}' = 2(z_n + \varepsilon_n)(z_n' + \varepsilon_n')+1</math> übertragen. Für <math>|\varepsilon_n| \ll |z_n|</math> erhält man <math>\varepsilon_{n+1}' = 2z_n \varepsilon_n'</math> und <math>\varepsilon_{n+k}' = a_{n,k} \varepsilon_n'</math> (Programmbeispiel).</ref> Die Koeffizienten <math>a_{n,k}</math> und <math>b_{n,k}</math> werden vorab berechnet und dienen während der Iteration als Abkürzung, um viele Iterationen zu überspringen, wenn <math>|\varepsilon_n| \lll \min \{|z_n|, |z_{n+1}|, \ldots, |z_{n+k-1}|\}</math> gilt, d. h. wenn <math>\varepsilon_n</math> sehr viel kleiner als <math>z_n,</math> <math>z_{n+1},</math> <math>\ldots,</math> <math>z_{n+k-1}</math> ist. Häufig können über 90 % der Iterationen übersprungen werden, was die Berechnung extrem beschleunigt.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Claude Heiland-Allen|Claude Heiland-Allen: }}{{#if:|{{#if:Kalles Fraktaler 2 +|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Kalles Fraktaler 2 +}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://mathr.co.uk/kf/kf.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Kalles Fraktaler 2 +}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://mathr.co.uk/kf/kf.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Kalles Fraktaler 2 +}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:mathr.co.uk2022{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://mathr.co.uk/kf/kf.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://mathr.co.uk/kf/kf.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Kalles Fraktaler 2 +|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Kalles Fraktaler 2 +|lines=0}}||}}}}{{#if: mathr.co.uk| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mathr.co.uk}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2022|,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2022| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2022|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2022|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2022|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2022|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-03-11|;}}}}{{#if: 2025-03-11| {{#if:2022{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-03-11 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-03-11|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-03-11|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:mathr.co.uk2022{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2022{{#if: 2025-03-11 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathr.co.uk/kf/kf.html | {{#if: | [29] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mathr.co.uk/kf/kf.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathr.co.uk/kf/kf.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathr.co.uk/kf/kf.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mathr.co.uk/kf/kf.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathr.co.uk/kf/kf.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://mathr.co.uk/kf/kf.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathr.co.uk/kf/kf.html | {{#if: | [30] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mathr.co.uk/kf/kf.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathr.co.uk/kf/kf.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathr.co.uk/kf/kf.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://mathr.co.uk/kf/kf.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathr.co.uk/kf/kf.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://mathr.co.uk/kf/kf.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Robert P. Munafo|Robert P. Munafo: }}{{#if:|{{#if:Bivariate Linear Approximation|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Bivariate Linear Approximation}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Bivariate Linear Approximation}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Bivariate Linear Approximation}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:mrob.com2023{{#if: 2025-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html}}%7C%7C}}}}{{#if:Bivariate Linear Approximation|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Bivariate Linear Approximation|lines=0}}||}}}}{{#if: mrob.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mrob.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2023|,|{{#if: 2025-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2023| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2023|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2023|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2023|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2023|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2025-11-21|;}}}}{{#if: 2025-11-21| {{#if:2023{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-11-21 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-11-21|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-11-21|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:mrob.com2023{{#if: 2025-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2023{{#if: 2025-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html | {{#if: | [31] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html | {{#if: | [32] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency/bivariatelinearapproximati.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>
- Probleme
- Der verwendete Referenzpunkt sollte möglichst innerhalb der zu untersuchenden Iterationen nicht divergieren, da die Nachbarpunkte maximal bis zu dem Abbruch der Referenzserie untersucht werden können. Alle Punkte mit einer größeren Iterationszahl müssen erneut berechnet werden. Die Auswahl und das Verwerfen von sich als ungeeignet herausgestellten Referenzpunkten stellt eine Herausforderung dar.
- Für die Berechnung der Abweichungen <math>\varepsilon_n</math> wird keine hohe Genauigkeit benötigt, allerdings ist der Wertebereich von 64-bit-Gleitkommazahlen arg limitiert. Ab etwa 10300 muss man leider mit eigenen Mathematikroutinen arbeiten, die zwar nur eine 52/64 bit-Mantisse benötigen, aber deutlich langsamer als hartkodierte Gleitkomma-Operationen sind (die aber wesentlich schneller als Berechnungen mit langen Mantissen sind).
- Man benötigt Speicherbandbreite für das Lesen der Referenzserie <math>z_n.</math> Die erste Verlangsamung gibt es, wenn diese nicht mehr in den L2-Cache passt, sehr viel langsamer wird es, wenn der L3-Cache nicht mehr ausreicht und auf den RAM zugegriffen werden muss.
- Es gibt Abweichungen zwischen einer direkten Berechnung der Serie <math>z_n'</math> und der indirekten Berechnung basierend auf <math>c' = c + \delta.</math> Dabei ist die indirekt Berechnung meistens genauer, wenn die Referenzserie hinreichend exakt bestimmt wird (was mit Langzahlarithmetik für einen einzigen Punkt aber kein Problem darstellt).
Rezeption in der Öffentlichkeit
Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-Menge vor allem durch den ästhetischen Wert der Computergrafiken bekannt, der durch künstlerische Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, unterstützt wird. Sie erlangte durch Publikationen von Bildern in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad und dürfte bis heute (Stand 2023) das populärste Fraktal sein, sowie auch eines der populärsten Objekte der zeitgenössischen Mathematik.<ref>Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos, Bausteine der Ordnung. Rowohlt, ISBN 3-499-60551-1, S. 431.</ref>
Die Mandelbrot-Menge wird als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet. Sie hat Computerkünstler inspiriert und zu einem Aufschwung fraktaler Konzepte beigetragen. Dabei finden zahlreiche Modifikationen des Algorithmus Anwendung, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.
Ein weiterer Aspekt ist der extreme Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme erinnert, bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können, sowie die Nähe zur Chaosforschung, die ebenfalls in der Öffentlichkeit großes Interesse geweckt hatte.
Die Bezeichnung ,Apfelmännchen‘ leitet sich von der geometrischen Grobform einer um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Mandelbrot-Menge her.
Der US-amerikanische Musiker Jonathan Coulton hat ein Lied über die Mandelbrot-Menge veröffentlicht, in dem Benoît Mandelbrot dafür gedankt wird, dass er Ordnung in das Chaos gebracht habe.<ref>Jonathan Coulton: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20170125235930
| {{#ifeq: 20170125235930 | *
| {{#if: Mandelbrot Set. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Mandelbrot Set.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}} }} (Archivversionen)
| {{#iferror: {{#time: j. F Y|20170125235930}}
| {{#if: || }}Der Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein!
| {{#if: Mandelbrot Set. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Mandelbrot Set.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20170125235930}} im Internet Archive{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
}}
}}
| {{#if:
| {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
| {{#switch: {{#invoke:Str|len|{{{webciteID}}}}}
| 16= {{#if: Mandelbrot Set. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Mandelbrot Set.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{{webciteID}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| 9 = {{#if: Mandelbrot Set. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Mandelbrot Set.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!{{#if: || }}
}}
| c|{{{webciteID}}}}} {{#if: Mandelbrot Set. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Mandelbrot Set.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}} }} ({{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
}}
| {{#if:
| Vorlage:Webarchiv/Today
| {{#if:
| Vorlage:Webarchiv/Generisch
| {{#if: Mandelbrot Set. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Mandelbrot Set.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}} }}
}}}}}}}}{{#if:
| Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all = url=
|opt = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
|cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
|errNS = 0
|template = Vorlage:Webarchiv
|format = *
|preview = 1
}}{{#ifexpr: {{#if:20170125235930|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
}}{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
| web.archive.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}}
| webcitation.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}}
| archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
}}{{#if:
| {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
| }}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
}}
| {{#if:
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
}}
}}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics}}
|| {{#if: || }}
}}{{#if: Mandelbrot Set.
| {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|Mandelbrot Set.}}
| {{#if: || }}
}}
| {{#if: || }}
}}{{#switch:
|addlarchives|addlpages= {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
}}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics%7Carchiv}} |-1
|| {{#ifeq: {{#invoke:Str|find|{{#invoke:Str|cropleft|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics%7C4}}%7Chttp}} |-1
|| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://oldgarbage.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set/Lyrics }}
| abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org =
| #default = {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
}}
}}
}}.</ref>
Verwandte Themen
- Das Buddhabrot ist eine gefilterte Dichteverteilung der Folgenglieder, bei der alle beschränkten Folgen ignoriert werden.
- Die Mandelknolle und die Mandelbox sind mögliche Verallgemeinerungen der Mandelbrot-Menge für drei- oder mehrdimensionale Räume.
Anmerkungen
<references group="A" />
Literatur
- Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. ISBN 3-7643-2646-8.
- John Briggs, F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos. ISBN 3-446-15966-5.
- Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. ISBN 0-387-15851-0.
- Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images. ISBN 0-387-96608-0.
- Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 1. Wege in die Unendlichkeit. ISBN 3-499-60881-2.
- Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 2. Reise durch das malumitische Universum. ISBN 3-499-60882-0.
- Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets. In: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), S. 477–507, 1999, PDF; 0,4 MB.
Weblinks
|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
|1/= und Videos
|1/1=, Videos und Audiodateien
|/1= und Audiodateien}}
| , Videos und Audiodateien
}}
|#default= – }}{{#if: Mandelbrot sets
| {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|mandelbrot sets|9}}
| category:
| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}Vorlage:Wikidata-Registrierung
|1|= – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen |0|-= |X|x= |#default= –
}}{{#if:| {{#ifeq: {{{lang}}} | de | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | ({{#invoke:Multilingual|format|{{{lang}}}|slang=!|shift=m}}) }}}}{{#invoke:TemplatePar|check
|opt= 1= 2= lang= suffix= |template=Vorlage:Wiktionary |cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Schwesterprojekt }}
![[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:](/index.php/Datei:Wikibooks-logo.svg){kind=link}
|1|= – Lern- und Lehrmaterialien |0|-= |X|x={{#switch: 0
|0|4|10|12|14|100=}}
|#default= – {{{suffix}}}
}}{{#if: | ({{#invoke:Multilingual|format|{{{lang}}}|slang=!|shift=m}}) }}{{#invoke:TemplatePar|check
|opt= 1= 2= lang= suffix= |template=Vorlage:Wikibooks |cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Schwesterprojekt }}
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Mandelbrot Set. In: MathWorld (englisch). {{#if: MandelbrotSet | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | MandelbrotSet | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Robert P. Munafo|Robert P. Munafo: }}{{#if:|{{#if:The Encyclopedia of the Mandelbrot Set|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The Encyclopedia of the Mandelbrot Set}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The Encyclopedia of the Mandelbrot Set}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mrob.com/pub/muency.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The Encyclopedia of the Mandelbrot Set}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:mrob.com1996{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.mrob.com/pub/muency.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.mrob.com/pub/muency.html}}%7C%7C}}}}{{#if:The Encyclopedia of the Mandelbrot Set|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=The Encyclopedia of the Mandelbrot Set|lines=0}}||}}}}{{#if: mrob.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mrob.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 1996|,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 1996| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|1996|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|1996|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=1996|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:1996|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2024-11-01|;}}}}{{#if: 2024-11-01| {{#if:1996{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2024-11-01 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2024-11-01|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2024-11-01|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:mrob.com1996{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 1996{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency.html | {{#if: | [33] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency.html }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency.html | {{#if: | [34] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency.html}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mrob.com/pub/muency.html Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.mrob.com/pub/muency.html | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mrob.com/pub/muency.html}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.mrob.com/pub/muency.html }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Robert Devaney|Robert Devaney: }}{{#if:|{{#if:Unveiling the Mandelbrot Set|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Unveiling the Mandelbrot Set}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Unveiling the Mandelbrot Set}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Unveiling the Mandelbrot Set}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:plus.maths.org2006{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set}}%7C%7C}}}}{{#if:Unveiling the Mandelbrot Set|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Unveiling the Mandelbrot Set|lines=0}}||}}}}{{#if: plus.maths.org| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=plus.maths.org}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2006|,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2006| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2006|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2006|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2006|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2006|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-07-15|;}}}}{{#if: 2021-07-15| {{#if:2006{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-07-15 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-07-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-07-15|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:plus.maths.org2006{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2006{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set | {{#if: | [35] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set | {{#if: | [36] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Wolfgang Beyer|Wolfgang Beyer: }}{{#if:|{{#if:Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:wolfgangbeyer.de2007{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:de|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm}}%7C%7C}}}}{{#if:Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel|lines=0}}||}}}}{{#if: wolfgangbeyer.de| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=wolfgangbeyer.de}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2007|,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2007| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2007|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2007|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2007|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2007|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-07-15|;}}}}{{#if: 2021-07-15| {{#if:2007{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-07-15 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-07-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-07-15|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:de|1}}}}|{{#if:wolfgangbeyer.de2007{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|de|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2007{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}de|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm | {{#if: | [37] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm | {{#if: | [38] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Anders Sandberg|Anders Sandberg: }}{{#if:|{{#if:Mercator Mandelbrot Maps|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Mercator Mandelbrot Maps}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Mercator Mandelbrot Maps}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Mercator Mandelbrot Maps}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:flickr.com2009{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949}}%7C%7C}}}}{{#if:Mercator Mandelbrot Maps|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Mercator Mandelbrot Maps|lines=0}}||}}}}{{#if: flickr.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=flickr.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2009|,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2009| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2009|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2009|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2009|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2009|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-07-15|;}}}}{{#if: 2021-07-15| {{#if:2009{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-07-15 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-07-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-07-15|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:flickr.com2009{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2009{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 | {{#if: | [39] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 | {{#if: | [40] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/albums/72157615740829949 }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Norbert Treitz|Norbert Treitz: }}{{#if:|{{#if:Mandelbrots Apfelmännchen|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Mandelbrots Apfelmännchen}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Mandelbrots Apfelmännchen}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Mandelbrots Apfelmännchen}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:spektrum.de2017{{#if: 2021-08-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:de|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742}}%7C%7C}}}}{{#if:Mandelbrots Apfelmännchen|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Mandelbrots Apfelmännchen|lines=0}}||}}}}{{#if: spektrum.de| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=spektrum.de}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2017|,|{{#if: 2021-08-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2017| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2017|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2017|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2017|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-08-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-08-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2017|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-08-07|;}}}}{{#if: 2021-08-07| {{#if:2017{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-08-07 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-08-07|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-08-07|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:de|1}}}}|{{#if:spektrum.de2017{{#if: 2021-08-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|de|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2017{{#if: 2021-08-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}de|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 | {{#if: | [41] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 | {{#if: | [42] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.spektrum.de/raetsel/mandelbrots-apfelmaennchen/1336742 }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Albert Lobo|Albert Lobo: }}{{#if:|{{#if:Mandelbrot viewer|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Mandelbrot viewer}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Mandelbrot viewer}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Mandelbrot viewer}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:albertlobo.com2019{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer}}%7C%7C}}}}{{#if:Mandelbrot viewer|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Mandelbrot viewer|lines=0}}||}}}}{{#if: albertlobo.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=albertlobo.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2019|,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2019| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2019|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2019|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2019|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2019|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2024-11-01|;}}}}{{#if: 2024-11-01| {{#if:2019{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2024-11-01 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2024-11-01|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2024-11-01|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:albertlobo.com2019{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2019{{#if: 2024-11-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer | {{#if: | [43] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer | {{#if: | [44] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://albertlobo.com/fractals/mandelbrot-viewer }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Joao Maio|Joao Maio: }}{{#if:|{{#if:Mandelbrot Maps|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Mandelbrot Maps}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Mandelbrot Maps}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Mandelbrot Maps}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:github.com2021{{#if: 2023-07-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/}}%7C%7C}}}}{{#if:Mandelbrot Maps|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Mandelbrot Maps|lines=0}}||}}}}{{#if: github.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=github.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2021|,|{{#if: 2023-07-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2021| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2021|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2021|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2021|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2023-07-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-07-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2021|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2023-07-10|;}}}}{{#if: 2023-07-10| {{#if:2021{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2023-07-10 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2023-07-10|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2023-07-10|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:github.com2021{{#if: 2023-07-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2021{{#if: 2023-07-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ | {{#if: | [45] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ | {{#if: | [46] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://jmaio.github.io/mandelbrot-maps/ }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Zooming in a Mandelbrot Fractal by a Ratio of 10^227|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Zooming in a Mandelbrot Fractal by a Ratio of 10^227}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Zooming in a Mandelbrot Fractal by a Ratio of 10^227}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Zooming in a Mandelbrot Fractal by a Ratio of 10^227}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:youtube.com2016{{#if: 2021-10-14 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA}}%7C%7C}}}}{{#if:Zooming in a Mandelbrot Fractal by a Ratio of 10^227|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Zooming in a Mandelbrot Fractal by a Ratio of 10^227|lines=0}}||}}}}{{#if: youtube.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=youtube.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2016|,|{{#if: 2021-10-14 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2016| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2016|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2016|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2016|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-10-14 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-10-14 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2016|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-10-14|;}}}}{{#if: 2021-10-14| {{#if:2016{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-10-14 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-10-14|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-10-14|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}|{{#if:youtube.com2016{{#if: 2021-10-14 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|{{{sprache}}}|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2016{{#if: 2021-10-14 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA | {{#if: | [47] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA | {{#if: | [48] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.youtube.com/watch?v=9M7dTmvJxwA }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Sounds of the Mandelbrot Set|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Sounds of the Mandelbrot Set}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Sounds of the Mandelbrot Set}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Sounds of the Mandelbrot Set}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:youtube.com2021{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s}}%7C%7C}}}}{{#if:Sounds of the Mandelbrot Set|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Sounds of the Mandelbrot Set|lines=0}}||}}}}{{#if: youtube.com| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=youtube.com}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2021|,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: 2021| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2021|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|2021|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2021|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2021|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-07-15|;}}}}{{#if: 2021-07-15| {{#if:2021{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-07-15 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-07-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-07-15|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:youtube.com2021{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2021{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s | {{#if: | [49] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s | {{#if: | [50] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://www.youtube.com/watch?v=GiAj9WW1OfQ&t=148s }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
- {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Diverse Algorithmen zur Berechnung der Mandelbrot-Menge|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Diverse Algorithmen zur Berechnung der Mandelbrot-Menge}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Diverse Algorithmen zur Berechnung der Mandelbrot-Menge}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Diverse Algorithmen zur Berechnung der Mandelbrot-Menge}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Rosetta Code{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| )
| {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ;
| )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set}}%7C%7C}}}}{{#if:Diverse Algorithmen zur Berechnung der Mandelbrot-Menge|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Diverse Algorithmen zur Berechnung der Mandelbrot-Menge|lines=0}}||}}}}{{#if: Rosetta Code| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Rosetta Code}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
|{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
|{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2149||(?)}}}}}}{{#if: 2021-07-15|;}}}}{{#if: 2021-07-15| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2021-07-15 |ISO|noerror=1}} }}
|4=im Jahr
|7=im
|10=am
|#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2021-07-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2021-07-15|T._Monat JJJJ}}
| {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:Rosetta Code{{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}}}}
| (
| {{#if: | | (}}
}}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
{{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2021-07-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
#if:
| „{{
#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| Vorlage:Str trim
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
}}“
| {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
| „Vorlage:Str trim“
| {{#invoke:Text|quote
|1={{#if:
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
|2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
|3=1}} }}
}}{{#if:
| (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if: | : }}{{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if:
| ({{#if: | , deutsch: „“ }})
| {{#if: | (deutsch: „“) }}
}}
}}{{#if: {{{zitat}}}
| {{#if:
| {{#if: {{{zitat}}}
| Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
| Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
| Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
| {{{ref}}} }}
}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:
|0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set | {{#if: | [51] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: deadurl |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set }}|{{#switch: |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set | {{#if: | [52] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive ){{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }} | (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.) }}{{#switch: |no|0|= |#default={{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set}} || {{#if: || }} }} | {{#if: | {{#if: || }} | {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. ) {{#if: | {{#if: | | Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: |no|0|= |#default= {{#if: || }} }}{{#invoke:TemplatePar|check |all = inline= url= |opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link |errNS = 0 |template = Vorlage:Toter Link |format = |preview = 1 }}{{#if: https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set}} || {{#if: || }} }} }}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}} || {{#if: || }} }} }}{{#switch: |checked|deadurl|= |#default= {{#if: || }} }}[https://rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set }} }}}}}}}}}}{{#if:| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}
}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}
Einzelnachweise
<references responsive />
Vorlage:Hinweisbaustein{{#ifeq:0 | 0 | {{#if: 13. Oktober 2005 | | }} {{#if: {{#invoke:Expr|figure|9950882|set=Z}} | | }} {{#if: {{#invoke:Vorlage:Seitenbewertung|fulfils|match=17437798}} | | }} }}
- Seiten mit defekten Dateilinks
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv/Archiv-URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv/Linktext fehlt
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:"
- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Schwesterprojekt
- Wikipedia:Wikidata P2812 verschieden
- Wikipedia:Wikidata P2812 fehlt
- Wikipedia:Lesenswert
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Bewertungsbaustein
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Bewertungsbaustein/Wikidata
- Komplexe Dynamik
- Wikipedia:Artikel mit Video