Satz von Gauß-Lucas
<math>\begin{align} p(z) = &\quad z^{7} + \left(-38 - 12 \; i \right) \; z^{6} \\ &+ \left(556 + 390 \; i \right) \; z^{5} \\&+ \left(-3930 - 5198 \; i \right) \; z^{4} \\ &+ \left(11595 + 36880 \; i \right) \; z^{3} \\ &+ \left(15008 - 140406 \; i \right) \; z^{2} \\ &+ \left(-166180 + 234010 \; i \right) \; z\\ &+ 234900 - 76800 \; i \end{align}</math><math>\begin{align}p'(z) = &\quad 7 \; z^{6} + \left(-228 - 72 \; i \right) \; z^{5} \\ &+ \left(2780 + 1950 \; i \right) \; z^{4} \\ &+ \left(-15720 - 20792 \; i \right) \; z^{3} \\ &+ \left(34785 + 110640 \; i \right) \; z^{2} \\ &+ \left(30016 - 280812 \; i \right) \; z \\ &- 166180 + 234010 \; i \end{align}</math>
Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms <math>P</math> und dessen Ableitung <math>P'</math> an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung <math>P'</math> in der konvexen Hülle der Nullstellen von <math>P</math> liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.
Der Satz von Gauß-Lucas
Sei <math>P</math> eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei <math>P^\prime</math> die Ableitung von <math>P</math>. Dann liegen alle Nullstellen von <math>P^\prime</math> in der konvexen Hülle der Nullstellen von <math>P</math>.
Geschichte
Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben,<ref>C. F. Gauß: Werke, Band 3, Göttingen 1866, S. 120:112</ref> jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.<ref name="lucas">F. Lucas: Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. in: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (89), Paris 1979, S. 224–226</ref>
Stärkere Aussage
Die Nullstellen von <math>P'</math> liegen sogar in der konvexen Hülle der <math>n^2-n</math> Punkte
- <math>
\omega_{jk}=\frac{z_j+(n-1)z_k}{n} </math>
mit <math>j\,,k=1,\ldots ,n</math> und <math>j \neq k</math>, wobei <math>z_1,\ldots,z_n</math> die <math>n</math> Nullstellen von <math>P</math> sind.<ref>W. Specht: Eine Bemerkung zum Satze von Gauß-Lucas, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (62), 1959, S. 85–92</ref><ref>K. Kaffka: Zuordnungen zwischen Nullstellen und kritischen Punkten von Polynomen, Diplomarbeit 2012, Satz 2.16</ref>
Satz von Jensen
<math>\begin{align} p(z) = &\quad x^6-0.53x^5+0.62x^4-0.97x^3\\&+0.69x^2+0.13x+1.28\end{align}</math><math>\begin{align}p'(z) = &\quad 6x^5-1.76x^4+2.48x^3-2.92x^2\\ &+1.38x+0.13 \end{align}</math>
Wenn <math>P</math> eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung <math>P ^ \prime</math> innerhalb der Jensen-Scheiben,<ref>Eric W. Weisstein: Jensen Disk. In: MathWorld (englisch). </ref> die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von <math>P</math> bestimmt sind.<ref>Eric W. Weisstein: Jensen's Theorem. In: MathWorld (englisch). </ref> Diese Variante des Satzes von Gauß-Lucas für Polynome mit reellen Koeffizienten wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.<ref>J. L. Walsh: On the Location of the Roots of the Derivative of a Polynomial. Annals of Mathematics, Second Series, vol. 22, no. 2, Mathematics Department, Princeton University, 1920, pp. 128–144, doi:10.2307/1967860</ref><ref>E. B. Van Vleck: On the location of roots of polynomials and entire functions. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 35, no. 5, American Mathematical Society, 1929, pp. 643–683, doi:10.1090/S0002-9904-1929-04794-3</ref>
Einzelnachweise
<references />
Siehe auch
Literatur
- Craig Smorynski: MVT: A Most Valuable Theorem. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, S. 411–414
Weblinks
- Lucas–Gauss Theorem von Bruce Torrence, des Wolfram Demonstrations Projects.
- Satz von Gauss-Lucas, interaktive Illustration mit Polynomen 7-ten Grades (GeoGebra)
- Satz von Gauss-Lucas, interaktive Illustration mit Polynomen unterschiedlichen Grades (GeoGebra)
- Satz von Gauss-Lucas und Satz von Jensen in gemeinsamer interaktiver Illustration (GeoGebra)
- Satz von Gauss-Lucas und stärkere Aussage, interaktive Illustration (Javascript)