Kleeblattschlinge

Datei:Blue Trefoil Knot.png

Kleeblattschlinge

Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.

Parametrisierung und Invarianten

Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:

<math>x = \sin t + 2\sin2t \qquad y = \cos t - 2\cos2t \qquad z = -\sin3t</math>

Der (2,3)-Torusknoten ist ebenfalls ein Kleeblattknoten. Die folgenden parametrischen Gleichungen ergeben einen (2,3)-Torusknoten, der auf dem Torus liegt:

<math>x = (2+\cos 3t)\cos 2t, \qquad y=(2+\cos 3t )\sin 2t, \qquad z=\sin 3t.</math>

Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch <math>(r-2)^2+z^2 = 1</math> definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.<ref>uni-math.gwdg.de (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.</ref>

Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist

<math>\Delta(t) = t - 1 + t^{-1},</math>

und ihr Jones-Polynom ist

<math>V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}</math> oder

<math>V(q) = q + q^3 - q^4,</math>

je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die Knotengruppe hat die Präsentierung

<math>\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle \, </math>

und ist damit isomorph zur Zopfgruppe <math>B_3</math>.

Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu <math>SL(2,\R)/SL(2,\Z)</math>, also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe <math>SL(2,\Z)</math>.

Symmetrie

Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.<ref>cut-the-knot.org über Achtknoten. Abgerufen am 3. Mai 2012.</ref>

• Eine linkshändige Kleeblattschlinge.
  Eine linkshändige Kleeblattschlinge.
• Eine rechtshändige Kleeblattschlinge.
  Eine rechtshändige Kleeblattschlinge.

In der Kunst

Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.

• Das Logo des Deutschen Fußball-Bunds ähnelt einer Kleeblattschlinge.
  Das Logo des Deutschen Fußball-Bunds ähnelt einer Kleeblattschlinge.
• Eine Triquetra.
  Eine Triquetra.
• Ein alter nordischer Mjöllnir, Anhänger mit Kleeblättern.
  Ein alter nordischer Mjöllnir, Anhänger mit Kleeblättern.

Galerie

• Ein einfaches Triquetra-Symbol
  Ein einfaches Triquetra-Symbol
• Eine fest geknüpfte Triquetra
  Eine fest geknüpfte Triquetra
• Die Valknut
  Die Valknut
• Eine metallische Valknut in Form eines Kleeblattes
  Eine metallische Valknut in Form eines Kleeblattes
• Seifert-Fläche für eine Kleeblattschlinge.
  Seifert-Fläche für eine Kleeblattschlinge.
• Nicht-orientierbare Fläche, deren Rand eine Kleeblattschlinge ist.
  Nicht-orientierbare Fläche, deren Rand eine Kleeblattschlinge ist.

Literatur

• Max Dehn: Die beiden Kleeblattschlingen. In: Mathematische Annalen. 102, 1914, S. 402–413 (uni-goettingen.de).

Weblinks

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Einzelnachweise

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