Knotengruppe

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man einen in den euklidischen Raum eingebetteten Kreis als Knoten. Die entsprechende Knotengruppe ist dann die Fundamentalgruppe des Komplements des Knotens <math>K</math>

<math>\pi_1(\R^3 \setminus K).</math>

Andere Konvention

In der Topologie betrachtet man statt des euklidischen Raumes häufig dessen Einpunktkompaktifizierung <math>\mathbb{S}^3</math> und entsprechend Knoten als eingebettete Kreise in der <math>\mathbb{S}^3</math>.

Es lässt sich zeigen, dass die so entstehende Knotengruppe

<math>\pi_1(\mathbb{S}^3 \setminus K)</math>

isomorph zu <math>\pi_1(\R^3 \setminus K)</math> ist.

Eigenschaften

Äquivalente Knoten haben isomorphe Knotengruppen, die Knotengruppen ist also eine Knoteninvariante und kann dazu dienen, Knoten zu unterscheiden.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, so gibt es nicht-äquivalente Knoten mit isomorphen Knotengruppen. Außerdem ist es ein algorithmisch schwieriges Problem, die Nicht-Isomorphie von Knotengruppen zu beweisen.

Die Abelisierung der Knotengruppe ist immer isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen <math>\Z</math>. Das folgt aus dem Alexanderschen Dualitätssatz.

Die Knotengruppe kann mit dem Wirtinger-Algorithmus recht einfach berechnet werden. (D.h. der Wirtinger-Algorithmus liefert eine endliche Präsentation der Knotengruppe.) Es gibt aber keinen allgemeinen Algorithmus, der zu zwei endlichen Gruppenpräsentationen entscheidet, ob die Gruppen isomorph sind.

Alle Erzeuger in der Wirtinger-Präsentierung sind Meridiane des Knotens und insbesondere sind alle diese Erzeuger konjugiert zueinander. Unter der Abelisierungsabbildung werden alle auf denselben Erzeuger der ganzen Zahlen <Math>\Z</Math> abgebildet.

Beispiele

• Die Knotengruppe des trivialen Knotens ist <math>\Z</math>.
• Die Knotengruppe des Kleeblattknotens ist die Zopfgruppe <math>B_3</math> mit Präsentation

<math>\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle</math> oder <math>\langle a, b \mid aba = bab \rangle</math>.

• Die Knotengruppe des (p,q)-Torusknotens ist

<math>\langle x,y \mid x^p = y^q \rangle</math>.

• Die Knotengruppe des Achterknotens ist

<math>\langle x,y \mid x^{-1}yxy^{-1}xy=yx^{-1}yx\rangle</math>.

Literatur

• Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner. Knots. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. xii+559 pp. ISBN 3-11-017005-1

Weblinks

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Knot and Link Groups", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104