Jones-Polynom

Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in <math>\sqrt{t}</math>.

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer

Sei <math>L</math> eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom <math>\langle L \rangle </math> ist ein zu einem Diagramm von <math>L</math> assoziiertes Laurent-Polynom in <math>A</math>. Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel <math>X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle </math>, wobei <math>w(L)</math> die Verwringung von <math>L</math> bezeichnet. <math>X(L)</math> ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom <math>V(L)</math> erhält man, indem man <math> A = t^{-1/4} </math> in <math>X(L)</math> substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen

Sei <math>L</math> eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist <math>L</math> der Abschluss eines Zopfes mit <math>n</math> Komponenten. Eine Darstellung <math>\rho</math> der Zopfgruppe <math>B_n</math> in die Temperley–Lieb-Algebra <math>TL_n</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb Z [A, A^{-1}]</math> und <math>\delta = -A^2 - A^{-2}</math> wird definiert, indem man den Erzeuger <math>\sigma_i</math> auf <math>A\cdot e_i + A^{-1}\cdot 1</math> abbildet, wobei <math>1, e_1, \dots, e_{n-1}</math> die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei <math>\sigma</math> der zu <math>L</math> assoziierte Zopf. Berechne <math>\delta^{n-1} \operatorname{tr} \rho(\sigma)</math>, wobei <math>\operatorname{tr}</math> die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom <math>\langle L \rangle</math>, aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

wobei <math>L_{+}</math>, <math>L_{-}</math> und <math>L_{0}</math> orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Skein-Relationen

Definition durch Chern-Simons-Theorie

Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.<ref>Witten, op.cit.</ref>

Anwendungen

Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Spezielle Werte

Für einen Knoten ist <math>V(1)=1</math>, für eine Verschlingung mit <math>l\ge 2</math> Komponenten ist <math>V(1)=\frac{1}{2^{l-1}}</math>.
Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist <math>V(i)=(-\sqrt{2})^{l-1}(-1)^{Arf(L)}</math>.
<math>V(e^{\frac{2\pi i}{3}})=1</math>.
Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

Siehe auch

Literatur

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Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
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Weblinks

Edward Witten: Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology. (PDF; 619 kB)
Alan Chang: On the Jones polynomial and its applications.

Einzelnachweise