Jordan-Chevalley-Zerlegung
Die Jordan-Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen. Benannt ist sie nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley.
Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus <math>x \colon V \rightarrow V</math> eines endlichdimensionalen Vektorraums <math>V</math> über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe <math>x = x_s + x_n</math>, worin <math>x_s</math> ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und <math>x_n</math> ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt <math>x_sx_n = x_nx_s</math>.
Ist allgemeiner <math>L</math> eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer <math>[\cdot, \cdot]</math>) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und <math>x \in L</math>, so bezeichnet man <math>x = x_s + x_n</math> als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus <math>\operatorname{ad}(x_s)</math> ist halbeinfach, der Endomorphismus <math>\operatorname{ad}(x_n)</math> ist nilpotent, und es gilt <math>[x_s, x_n] = 0</math>. Darin wird für jedes <math>y \in L</math> die Abbildung <math>\operatorname{ad}(y)</math> folgendermaßen definiert:
- <math>\operatorname{ad}(y)\colon L \rightarrow L\ ,\ z \mapsto [y, z]</math>,
welches ein Endomorphismus von <math>L</math> ist.
Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall <math>L = \operatorname{End}(V)</math>, versehen mit der Lie-Klammer <math>[f,g] := fg-gf</math>, überein.
Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar. Diese erhält man leicht aus der oben angegebenen additiven Zerlegung:
- <math>x = x_s + x_n = x_s\cdot (1+x_s^{-1}x_n)</math>.
Man beachte, dass <math>x_s</math> invertierbar ist, denn <math>x</math> kann als invertierbarer Endomorphismus nicht den Eigenwert 0 haben, und dass <math>x_s^{-1}x_n</math> wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren ebenfalls nilpotent und <math>1+x_s^{-1}x_n</math> damit unipotent ist.
Siehe auch
Literatur
- Serge Lang, Algebra (3 ed), Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-55540-9. Chap.XIV.2, p.559.
Weblinks
- Jordan-Chevalley-Zerlegung und Cartan-Kriterium (PDF-Datei; 178 kB), Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022