Jacobi-Polynom
Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall <math>[-1,1]</math> bezüglich der Gewichtsfunktion <math>(1-x)^\alpha(1+x)^\beta</math> mit <math>\alpha, \beta > -1</math>. Sie haben die explizite Form<ref>Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln</ref>
- <math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{x-1}{2}\right)^m, </math> oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion <math>{}_2F_1</math>:
- <math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) =
{n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-x}{2}\right).
</math>
Rodrigues-Formel
- <math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x)^{\alpha+n}(1+x)^{\beta+n}\right],~~~\alpha,\beta>-1 </math>
Rekursionsformeln
Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.
- <math>
P_0^{(\alpha,\beta)} (x) =1 </math>
- <math>
P_1^{(\alpha,\beta)} (x) =\frac{1}{2}\bigl(\alpha-\beta+(\alpha+\beta+2)x\bigr) </math>
- <math>
a^1_n P_{n+1}^{(\alpha,\beta)} (x) = (a_n^2+a_n^3x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) -a_n^4P_{n-1}^{(\alpha,\beta)} (x) </math> mit den Konstanten:
- <math>
a^1_n=2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta) </math>
- <math>
a^2_n=(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha^2-\beta^2) </math>
- <math>
a^3_n=(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2) </math>
- <math>
a_n^4=2(n+\alpha)(n+\beta)(2n+\alpha+\beta+2) </math>
Eigenschaften
Der Wert für <math>x=1</math> ist
- <math>P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+1)n!}</math>.
Es gilt die folgende Symmetriebeziehung
- <math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-x) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (x)\,,</math>
woraus sich der Wert für <math>x = -1</math> ergibt:
- <math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .</math>
Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung
- <math>
\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}. </math>
Ableitungen
Aus der expliziten Form können die <math>k</math>-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:
- <math>
\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (x) . </math>
Nullstellen
Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix
- <math>
\begin{pmatrix} a_0 & b_1 & 0 & \dots & 0 \\ b_1 & a_1 & b_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ 0 & \dots & 0 & b_{n-1} & a_{n-1} \end{pmatrix} </math>
mit
- <math>
a_0 = \frac{\beta-\alpha}{2+\alpha+\beta} </math>
- <math>
a_j = \frac{\beta^2-\alpha^2}{(2j+\alpha+\beta)(2j+2+\alpha+\beta)},~~~j=1,\dots,n-1 </math>
- <math>
b_1 = \sqrt{\frac{4(1+\alpha)(1+\beta)}{(2+\alpha+\beta)^2(3+\alpha+\beta)}} </math>
- <math>
b_j = \sqrt{\frac{4j(j+\alpha)(j+\beta)(j+\alpha+\beta)}{(2j-1+\alpha+\beta)(2j+\alpha+\beta)^2(2j+1+\alpha+\beta)}},~~~j=2,\dots,n-1 </math>
stimmen mit den Nullstellen von <math>P_n^{(\alpha,\beta)}</math> überein.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall <math>(-1,1)</math> liegen.
Asymptotische Darstellung
Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:
- <math>
P_n^{(\alpha,\beta)}(\cos\theta) = \frac{\cos\left(\left[ n+(\alpha+\beta+1)/2 \right] \theta - \left[ 2\alpha+1 \right] \pi/4 \right)} {\sqrt{\pi n}\left[\sin(\theta/2)\right]^{\alpha+1/2}\left[\cos(\theta/2)\right]^{\beta+1/2}} +\mathcal{O}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta<\pi. </math>
Erzeugende Funktion
Für alle <math>x \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C}, |z|<1</math> gilt
- <math>
\sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(x) z^n = 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta},~~~ f(x,z)=\sqrt{1-2xz+z^2}. </math>
Die Funktion
- <math>
z \mapsto 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta} </math> wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.
Spezialfälle
Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:
- für <math>\alpha = \beta = 0</math>: Legendre-Polynome
- Gegenbauer-Polynome
- Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
- der Radialterm der Zernike-Polynome
Kugelsymmetrische Gewichtung auf dem Intervall [0,1]
Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius <math>r</math> abhängen. Dabei treten häufig Integrale mit Gewicht <math>r^{\beta}</math> auf, etwa bei elektrischen Feldern, Dichteprofilen oder Temperaturverteilungen in Kugelkoordinaten. Durch die Transformation <math>x = 2r - 1</math> lassen sich die Jacobi-Polynome <math>P_n^{(0,\beta)}(x)</math> auf das Intervall <math>[0,1]</math> mit Gewicht <math>r^\beta</math> übertragen.
Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:
<math> F_n^{(\beta)}(r) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} \frac{\sqrt{1 + \beta + 2n} \cdot \Gamma(n + k + \beta + 1)}{\Gamma(k + 1)\, \Gamma(n - k + 1)\, \Gamma(k + \beta + 1)} \, r^k, \quad r \in [0,1] </math>
Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:
<math> \int_0^1 F_n^{(\beta)}(r) \, F_m^{(\beta)}(r) \, r^\beta \, dr = \delta_{nm}. </math>
Die Funktionen <math>F_n^{(\beta)}(r)</math> bilden eine normierte, monomiale Basis und sind insbesondere nützlich für radial gewichtete Funktionen auf Kugelintervallen. Sie entsprechen (bis auf Normierung) den Jacobi-Polynomen <math>P_n^{(0,\beta)}(2r - 1)</math>.
Literatur
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
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Einzelnachweise
<references />