Zernike-Polynom

Datei:ZernikePolynome4.png

Zernike-Polynome:
<math>z^{-1}_1, z^{+1}_1, z^{-2}_2</math>, <math>z^{\pm 0}_2, z^{+2}_2, z^{-3}_3</math>, <math>z^{-1}_3, z^{+1}_3, z^{+3}_3</math>, <math>z^{-4}_4, z^{-2}_4, z^{\pm 0}_4</math>, <math>z^{+2}_4, z^{+4}_4, z^{-2}_6</math>.

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis. Sie sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts <math> \langle f, g \rangle = \iint_{x^2+y^2\leq 1} f(x,y)g(x,y) \mathrm dx \mathrm dy </math> in kartesischen beziehungsweise <math> \langle f, g \rangle = \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^1 f(\rho,\phi)g(\rho,\phi) \rho \mathrm d\rho \mathrm d\phi</math> in Polarkoordinaten.

Die Zernike Polynome spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt bezüglich <math>\phi</math> gerade und ungerade Zernike-Polynome.
Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

<math>Z^{+m}_{n}(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos m\phi</math>, also <math>Z^{+m}_{n}(\rho,-\phi)=Z^{+m}_{n}(\rho,\phi)</math>,

und die ungeraden durch

wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind. Zusätzlich wird gefordert, dass <math>m \leq n</math> und <math>n-m</math> gerade ist. <math>\phi</math> ist der azimutale Winkel und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind definiert gemäß

<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>,

wenn <math>n-m</math> gerade ist und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist.

In dieser Form sind sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils <math>R^m_n</math> und eines winkelabhängigen Teils <math>G^m</math>:

Datei:Zernike polynomials with read-blue cmap.png

Zernike-Polynome:
Von oben nach unten: <math>Z_0</math> bis <math>Z_5</math>.
Von links nach rechts: <math>Z^{<0}</math> über <math>Z^0</math> (auf der vertikalen Achse in der Mitte) bis <math>Z^{>0}</math>.

Zernike-Polynome werden üblicherweise in Polarkoordinaten angegeben. Mit <math>x=\rho\cos\phi</math> und <math>y=\rho\sin\phi</math> umgewandelt auf kartesische Koordinaten sind die Zernike-Polynome <math>Z^{\pm m}_n</math> bivariate Polynome in <math>x</math> und <math>y</math>.<ref>Lakshminarayanan & Fleck, Review, 2011: Zernike polynomials: A guide.</ref>

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht:

Der radiusabhängige Teil <math>R^m_n(\rho)</math>ist ein Polynom über <math>\rho</math> vom Grad <math>n</math>, welches nur Potenzen <math>\rho^k</math> mit <math>m\leq k \leq n</math> und <math>k-m</math> gerade enthält. Dadurch sind <math>\rho^k\cos(m\phi)</math> und <math>\rho^k\sin(m\phi)</math> und somit auch die Zernike-Polynome in kartesischen Koordinaten als Polynome in <math>x</math> und <math>y</math> darstellbar, vgl. Winkelfunktionen für weitere Vielfache.

Zernike-Polynome in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten<ref>Wyant - Zernike Polynomials For The Web.</ref>
Polynom	Polarkoordinaten	Kartesische Koordinaten	Wellenoptische Interpretation
<math>Z^0_0</math>	<math>1</math>	<math>1</math>	Mittelwert (Piston)
<math>Z^{-1}_1</math>	<math>\rho \sin\phi</math>	<math>y</math>	Verschwenkung in der horizontalen Achse
<math>Z^1_1</math>	<math>\rho \cos\phi</math>	<math>x</math>	Verschwenkung in der vertikalen Achse
<math>Z^{0}_2</math>	<math>-1+2\rho^2</math>	<math>-1+2(x^2+y^2)</math>	Defokussierung
<math>Z^{-2}_2</math>	<math>\rho^2\sin(2\phi)</math>	<math>2xy</math>	Astigmatismus schräg (45°) zu den Hauptachsen
<math>Z^{2}_2</math>	<math>\rho^2\cos(2\phi)</math>	<math>x^2-y^2</math>	Astigmatismus in den Hauptachsen
<math>Z^{-1}_3</math>	<math>(3 \rho^3 - 2 \rho) \sin \phi</math>	<math>3y(x^2 + y^2)-2y</math>	Koma, horizontale Achse
<math>Z^{1}_3</math>	<math>(3 \rho^3 - 2 \rho) \cos \phi</math>	<math>3x(x^2 + y^2)-2x</math>	Koma, vertikale Achse
<math>Z^{0}_4</math>	<math>6 \rho^4 - 6 \rho^2 + 1</math>	<math>6(x^2 + y^2)^2-6(x^2 + y^2)+1</math>	Sphärische Aberration

<math>R^m_n</math> ist eine bezüglich <math>\rho</math> gerade (ungerade) Funktion, wenn <math>m</math> gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil <math>R^m_n</math> stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome <math>P_n^{(\alpha,\beta)} (z)</math> dar.

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

Allgemein ist <math>R^n_n(\rho) = \rho^n.</math>

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt, um Abbildungsfehler optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

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Vorlage:Wikidata-Registrierung

Frits Zernike: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934.
Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise