Gegenbauer-Polynom
Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall <math>[-1,1]</math> mit der Gewichtungsfunktion <math>(1-x^2)^{\alpha - 1/2}</math>, mit <math>\alpha > -1/2</math>. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form
- <math>
C_n^{(\alpha)} (z) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{\Gamma(\alpha+n-m)}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},</math> für <math>\alpha \neq 0</math>, andernfalls
- <math>
C_n^{(0)} (z) = \sum^{\lfloor n/2 \rfloor}_{m=0}(-1)^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}(2z)^{n-2m},</math>
Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion <math>{}_2 F_1</math> darstellen:
- <math>C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha+n-1)!}{(2\alpha-1)!\,n!}\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)</math>
Der Wert für <math>z=1</math> ist
- <math>C_n^{(\alpha)} (1) = {n+2\alpha-1\choose n} .</math>
Die ersten Polynome haben die Gestalt:
- <math>C_0^{(\alpha)}(z) = 1 </math>
- <math>C_1^{(\alpha)}(z) = 2\alpha z </math>
- <math>C_2^{(\alpha)}(z) = -\alpha+2\alpha(1+\alpha)z^2 </math>
- <math>C_3^{(\alpha)}(z) = -2\alpha(1+\alpha)z+4/3\alpha(1+\alpha)(2+\alpha)z^3 </math>
Referenzen
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Gegenbauer Polynomial. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4, S. 774.