Isolierte Singularität

{{#if: behandelt Singularitäten komplexer Funktionen. Für Singularitäten reeller Funktionen siehe Definitionslücke.

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Isolierte Singularitäten werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie betrachtet. Es handelt sich um isolierte Punkte in der Menge der Singularitäten einer holomorphen Funktion. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen hebbaren Singularitäten, Polstellen und wesentlichen Singularitäten.

Definition

Es sei <math>\Omega \subseteq \mathbb C</math> eine offene Teilmenge, <math>z_0 \in \Omega</math>. Ferner sei <math>f\colon \Omega \setminus \{z_0\} \to \mathbb C</math> eine holomorphe komplexwertige Funktion. Dann heißt <math>z_0</math> isolierte Singularität von <math>f</math>.

Klassifizierung

Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:

• Der Punkt <math>z_0</math> heißt hebbare Singularität, wenn <math>f</math> auf <math>\Omega</math> holomorph fortsetzbar ist. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist dies genau dann der Fall, wenn <math>f</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> beschränkt ist.
• Der Punkt <math>z_0</math> heißt Polstelle oder Pol, wenn <math>z_0</math> keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl <math>k</math> gibt, sodass <math>(z-z_0)^k\cdot f(z)</math> eine hebbare Singularität bei <math>z_0</math> hat und dort auch nicht gleich 0 ist. Ist das <math>k</math> minimal gewählt, sodass das vorherige Kriterium erfüllt ist, dann sagt man, <math>f</math> habe in <math>z_0</math> einen Pol <math>k</math>-ter Ordnung.
• Andernfalls heißt <math>z_0</math> eine wesentliche Singularität von <math>f</math>.

Hebbare Singularitäten und Polstellen werden auch unter dem Begriff außerwesentliche Singularität zusammengefasst.

Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe

Der Typ der Singularität lässt sich auch an der Laurentreihe

<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>

von <math>f</math> in <math>z_0</math> ablesen:

• Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d. h. <math>a_n=0</math> für alle negativen ganzen Zahlen <math>n</math>.
• Ein Pol <math>k</math>-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach <math>k</math> Gliedern abbricht, d. h. <math> a_{-k} \neq 0</math> und <math>a_n=0</math> für alle <math>n<-k</math>.
• Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der Große Satz von Picard und als einfacherer Spezialfall davon der Satz von Casorati-Weierstraß.

Beispiele

Datei:Essential singularity.png

Plot der Funktion <math>\exp(1/z)</math>. Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).

Es sei <math>\Omega=\mathbb C</math> und <math>z_0=0.</math>

• <math>f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z}</math> kann durch <math>f(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden, also hat <math>f</math> bei <math>0</math> eine hebbare Singularität.
• <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z}</math> hat bei <math>0</math> einen Pol erster Ordnung, weil <math>g(z)=z^1\cdot f(z)</math> durch <math>g(0)=1</math> stetig auf <math>\Omega</math> fortgesetzt werden kann.
• <math>f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> hat bei <math>0</math> eine wesentliche Singularität, weil <math>z^k \exp\left(\tfrac{1}{z}\right)</math> für <math>z\to 0</math> für festes <math>k\in\mathbb N</math> stets unbeschränkt ist, beziehungsweise weil in der Laurentreihe um <math>z_0</math> unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt

<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}</math>.

Nichtisolierte Singularitäten

Zusätzlich zu voneinander isolierten Singularitäten können auch nichtisolierte Singularitäten auftreten. Eine Singularität <math>z_0</math> heißt nicht isoliert, falls sich in jeder Umgebung um <math>z_0</math> mindestens eine zusätzliche Singularität findet.

Nichtisolierte Singularitäten können sowohl Grenzwerte einer Folge isolierter Singularitäten, als auch Elemente einer Menge sein, auf welche die Funktion nicht analytisch fortsetzbar ist, wie im Beispiel der Logarithmusfunktion die negative reelle Halbachse.

Beispiele

• Die Funktion <math display="inline">\tan\left(\frac{1}{z}\right)</math> ist meromorph auf <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>, mit einfachen Polen in <math display="inline">z_n = \left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^{-1}</math> für <math> n\in\mathbb{N}_0</math>. Die Polstellen häufen sich im Nullpunkt.
• Die Funktion <math display="inline">\csc \left(\frac {\pi} {z}\right)</math> hat eine nichtisolierte Singularität im Nullpunkt, denn <math display="inline">z_n =\frac{1}{n}, n\in\N</math> ist eine Folge von Singularitäten mit Häufungspunkt in <math>0</math>. (Die Singularitäten in <math display="inline">z_n =\frac{1}{n}</math> sind hingegen isolierte Singularitäten.)
• Die durch die Maclaurin-Reihe <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}</math> definierte Funktion konvergiert im Inneren des Einheitskreises, kann aber nicht analytisch auf den Rand des Einheitskreises fortgesetzt werden. Die Punkte auf dem Rand des Einheitskreises sind nichtisolierte Singularitäten.

Quellen

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4.

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