Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element <math>a</math> einer Menge <math>X</math> ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von <math>a</math> gibt, in der (außer <math>a</math>) keine weiteren Elemente von <math>X</math> liegen.<ref>Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.</ref> Ein Punkt <math>a \in X</math> ist also genau dann isoliert, wenn <math>a</math> kein Häufungspunkt von <math>X</math> ist.<ref>Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.</ref>

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Definition

Sei <math> (X,d) </math> ein metrischer Raum und <math> A\subset X </math>. Ein Punkt <math> a\in A </math> heißt isolierter Punkt von A, wenn es <math> \varepsilon >0 </math> gibt mit <math> \ U_{\varepsilon}(a) \cap A=\{a\} </math>.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

In der Menge <math>\{0\}\cup [1, 2]</math> ist <math>0</math> ein isolierter Punkt.
In der Menge <math>\{\tfrac 12, \tfrac 23, \tfrac 34, \dots\} \cup \{1\}</math> ist jedes der Elemente <math>\tfrac {n}{n+1}</math> ein isolierter Punkt, aber <math>1</math> ist kein isolierter Punkt.
In der Menge der natürlichen Zahlen <math>\N=\{0, 1, 2, \dots\}</math> sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

Einzelnachweise