Maclaurinsche Reihe

Die maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle <math>x_0 = 0</math>:

<math>Tf(x;0) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{f^{(j)}(0)}{j!}x^j = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{1}{2!} f(0) \cdot x^2 + \dotsb.</math>

Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:

mit dem Restglied

<math> R_n(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\theta x) \qquad 0 < \theta < 1 </math>

oder alternativ

<math> R_n(x) = \frac{1}{n!} \int \limits_{0}^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t. </math>

Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes <math> R_n </math> oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich <math> f(x) </math> ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion <math> f(x) = \exp(-1/x^2) </math> mit der Bedingung <math> f(0) = 0 </math>: die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist <math> f(x) \not= 0 </math> für <math> x \not=0. </math><ref>I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0, S. 434.</ref>

Für Funktionen, die bei <math>x=0</math> nicht definiert sind – z. B. <math>f(x) = \tfrac{1}{x}</math>, oder die bei <math>x=0</math> zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind – z. B. <math>f(x) = x \sqrt{x}</math>, lässt sich ebenfalls keine maclaurinsche Reihe entwickeln.

Beispiele

Elementare Beispiele

Sinus

<math>\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\ldots</math>

Exponentialfunktion

<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + \dots</math>

Areatangens Hyperbolicus

<math>\text{artanh}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2n + 1}x^{2n + 1}</math>

Arkussinus

<math>\arcsin(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^2 (2n + 1)}x^{2n + 1}</math>

Exponentiell erzeugende Funktion der Bellschen Zahlen:

<math>\exp[\exp(x)-1] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^{n}</math>

Nicht elementare Beispiele

Besselsche Funktionen

<math>\mathrm{I}_{0}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{4^{n} (n!)^2} = \int_{0}^{1} \frac{2\cosh(xy)}{\pi\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y</math>

<math>\mathrm{J}_{0}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{4^{n} (n!)^2} = \int_{0}^{1} \frac{2\cos(xy)}{\pi\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y</math>

Legendresche Chifunktion

<math>\chi_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2}x^{2n + 1} = \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(xy)}{\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y</math>

Vollständiges elliptisches Integral erster Art:

<math>\frac{2}{\pi}K(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{16^{n}(n!)^4}x^{2n} = \int_{0}^{1} \frac{2}{\pi\sqrt{(1 - x^2 y^2)(1 - y^2)}} \,\mathrm{d}y</math>

Erzeugende Funktion der regulären Partitionszahlenfolge P(n):

<math>\vartheta_{00}(x)^{-1/6}\vartheta_{01}(x)^{-2/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{-1/24} = \sum_{n=0}^{\infty} P(n)x^n</math>

Erzeugende Funktion der strikten Partitionszahlenfolge Q(n):

<math>\vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{-1/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{1/24} = \sum_{n=0}^{\infty} Q(n)x^n</math>

Mit dem Buchstaben ϑ werden die sogenannten Theta-Nullwertfunktionen ausgedrückt.

Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin-Reihen

Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle <math>x_0 \neq 0</math>, kann als Maclaurin-Reihe aufgefasst werden. Dazu wird statt der Taylorreihe zu <math>f(x)</math> die Taylorreihe zu <math>f(x_0+x)</math> betrachtet (Substitution):

<math>f(x_0 + x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} [(x_0 + x) - x_0]^n

                 = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} x^n.</math>

Durch die Verschiebung um <math>-x_0</math> „zur Seite“ ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0, wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion <math>\ln(x)</math> um die Entwicklungsstelle 1, nämlich

<math> \ln (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n, </math>

entspricht der Maclaurin-Reihe zu <math>\ln(x+1).</math>

<math> \ln(x + 1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots. </math>

Einzelnachweise

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